文档内容
2015年普通高等学校招生全国统一考试
山东卷文科数学试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1. 已知集合A=x|2< x<4，B={x（| x-1)(x-3）<0}，则A B=( )
（A） 1,3 （B） 1,4 （C） 2,3 （D） 2,4
z
2. 若复数Z满足 =i，其中i为虚数单位，则Z=( )
1-i
（A）1-i （B）1+i （C）-1-i （D）-1+i
3. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
（A）a＜b＜c （B）a＜c＜b （C）b＜a＜c （D）b＜c＜a
[来源:学|科|网]
p
4. 要得到函数y =si（n 4x- ）的图象，只需要将函数y =sin4x的图象（ ）
3
p p
（A）向左平移 个单位 （B）向右平移 个单位
12 12
p p
（C）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位
3 3
5. 设mÎR,命题“若m>0,则方程x2 +x-m=0有实根”的逆否命题是( )
（A）若方程x2 +x-m=0有实根，则m>0
(B) 若方程x2 +x-m=0有实根，则m£0
(C) 若方程x2 +x-m=0没有实根，则m>0
(D) 若方程x2 +x-m=0没有实根，则m£0
6.
为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数
据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
第1页 | 共6页①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
（A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
1
7. 在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1£log（x+ ）£1”发生的概率为(
1 2
2
)
3 2 1 1
（A） （B） （C） （D）
4 3 3 4
2x +1
8. 若函数 f(x)= 是奇函数，则使 （f x）>3成立的x的取值范围为( )
2x -a
（A）( ) (B)( ) （C）（0,1） （D）（1,+¥）
9.
已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成
的曲面所围成的几何体的体积为( )
2 2 4 2
（A） p （B） p （C） （D）
3 3 2 2p 4 2p
ì3x-b,x<1 5
10.设函数 f(x)=í ，若 f(f( ))=4，则b= ( )
î 2x,x³1 6
7 3 1
（A）1 （B） （C） (D)
8 4 2
第2页 | 共6页第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是 .
ìy-x£1
ï
12. 若x,y满足约束条件íx+ y£3,则z = x+3y的最大值为 .
ï
y³1
î
13. 过点P（1，3）作圆x2 + y2 =1的两条切线，切点分别为A,B，则PA×PB= .
x2 - y2
14. 定义运算“Ä”： xÄy = （x，yÎR,xy ¹0）.当x>0，y >0时，
xy
xÄy+(2y)Äx的最小值是 .
15.
x2 y2
过双曲线C： - =1（a>0,b>0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点
a2 a2
P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16. （本小题满分12分）
[来源:Z*xx*k.Com]
某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：
人）
[来源:学|科|网]
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学
A，A，A，A，A , 3名女同学B，B，B .现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1
1 2 3 4 5 1 2 3
人，求A被选中且B 未被选中的概率.
1 1
第3页 | 共6页17. (本小题满分12分)
DABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知
3 6
cos B= ,sin (A+B)= ,ac=2 3
3 9
求sinA 和c 的值.
18. 如图，三棱台DEF -ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为AC，BC的中点.
（I）求证：BD//平面FGH ；
（II）若CF ^ BC，AB^ BC，求证：平面BCD^平面EGH .
第4页 | 共6页19. （本小题满分12分）
ì 1 ü n
已知数列a 是首项为正数的等差数列，数列í ý的前n项和为 .
n a ·a 2n+1
î þ
n n+1
（I）求数列a 的通项公式；
n
（II）设b =a +1×2a n，求数列b 的前n项和T .
n n n n
20. (本小题满分13分)
设函数 . 已知曲线
在点(1, f(1))处的切线与直线 平行.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程 f(x)= g(x)在 (k,k+1)内存在唯一的根？如果存在
，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数m(x)=min{f(x),g(x)}（min{p,q}表示， p,q中的较小值），求mx
的最大值.
第5页 | 共6页21. (本小题满分14分)
[来源:学科网ZXXK]
x2 y2 3
平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为 ，且点
a2 b2 2
1
（ 3， ）在椭圆C上.
2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
x2 y2
（Ⅱ）设椭圆E： + =1，P为椭圆C上任意一点，过点 P的直线
4a2 4b2
y=kx+m交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
|OQ|
（i）求 的值；
|OP|
(ii)求DABQ面积的最大值.
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