2015年高考数学试卷（理）（上海）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 1、设全集U=R．若集合A=1,2,3,4，B=  x 2£ x£3  ，则A ð B= I U ． 2、若复数z满足3z+z =1+i，其中i为虚数单位，则z = ． æ2 3 c ö ìx=3 3、若线性方程组的增广矩阵为ç 1 ÷、解为í ，则c -c = ． è 0 1 c ø îy =5 1 2 2 4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则a= ． 5、抛物线y2 =2px（ p>0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p= ． 6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2p，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 7、方程log  9x-1-5  =log  3x-1-2  +2的解为 ． 2 2 8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 9、已知点R和Q的横坐标相同，R的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，R和Q的轨迹分别为 双曲线C 和C ．若C 的渐近线方程为y =± 3x，则C 的渐近线方程为 ． 1 2 1 2 第1页 | 共6页x 10、设 f -1x为 f x=2x-2 + ，xÎ0,2的反函数，则y = f x+ f -1x的最大值 2 为 ． 10 æ 1 ö 11、在ç 1+x+ ÷ 的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）． è x2015 ø 12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随 机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两 张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量x 1 和x分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Ex-Ex = （元）． 2 1 2 13、已知函数 f x=sinx．若存在x ，x ，×××，x 满足0£ x < x <×××< x £6p， 1 2 m 1 2 m 且 f x - f x  + f x - f x  +×××+ f x - f x  =12（m³2，mÎN*），则 1 2 2 3 n-1 n m的最小值 为 ． 1 14、在锐角三角形ABC中，tanA= ，D为边BC上的点，DABD与DACD的面积分 2 uuur uuur 别为2和4．过D作DE^AB于E，DF^AC于F，则DE×DF= ． 二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 15、设z ，z ÎC，则“z 、z 中至少有一个数是虚数”是“z -z 是虚数”的（ ） 1 2 1 2 1 2 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件   p 16、已知点A的坐标为 4 3,1 ，将OA绕坐标原点O逆时针旋转 至OB，则点B的 3 纵坐标为（ ） 3 3 5 3 11 A． B． C． 2 2 2 13 D． 2 第2页 | 共6页17、记方程①：x2 +a x+1=0，方程②：x2 +a x+2=0，方程③：x2 +a x+4=0 1 2 3 ，其中a ，a ，a 是正实数．当a ，a ，a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③ 1 2 3 1 2 3 无实根的是（ ） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 n 18、设R x ,y 是直线2x- y = （nÎN*）与圆x2 + y2 =2在第一象限的交点， n n n n+1 y -1 则极限lim n =（ ） n®¥ x -1 n 1 A．-1 B．- C．1 2 D．2 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19、（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A BC D 中，AA =1，AB=AD=2 1 1 1 1 1 ，E、F分别是AB、BC的中点．证明A 、C 、F、E四点共面，并求直线CD 与平 1 1 1 面A C FE所成的角的大小. 1 1 20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分 如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米.现甲、 乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为 f t（单位： 千米）.甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙 到达B地后原地等待.设t =t 时乙到达C地. 1 （1）求t 与 f t 的值； 1 1 （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t £t £1时，求 f t的表达式，并判 1 断 f t在t ,1上得最大值是否超过3？说明理由. 1 第3页 | 共6页21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知椭圆x2 +2y2 =1，过原点的两条直线l 和l 分别于椭圆交于A、B和C、D，记得 1 2 到的平行四边形ABCD的面积为S. （1）设Ax ,y ，Cx ,y ，用A、C的坐标表示点C到直线l 的距离，并证明 1 1 2 2 1 S =2 x y -x y ； 1 1 2 1 1 （2）设l 与l 的斜率之积为- ，求面积S的值. 1 2 2 22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 6分. 已知数列a 与b 满足a -a =2b -b ，nÎN*. n n n+1 n n+1 n （1）若b =3n+5，且a =1，求数列a 的通项公式； n 1 n （2）设a 的第n 项是最大项，即a >a （nÎN*），求证：数列b 的第n 项是最 n 0 n n n 0 0 大项； （3）设a =l<0，b =ln（nÎN*），求l的取值范围，使得a 有最大值M与最 1 n n M 小值m，且 Î-2,2. m 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分. 对于定义域为R 的函数gx，若存在正常数T，使得cosgx是以T为周期的函数，则 称gx为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知 f x是以T为余弦周期的余弦周期 函数，其值域为R .设 f x单调递增， f 0=0， f T=4p. x （1）验证hx= x+sin 是以6p为周期的余弦周期函数； 3 （2）设a