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2015 年高考山东省理科数学真题
一、选择题
1.已知集合A= x|x2 -4x+3<0 ，B=x|2< x<4，则A B=（ ）
I
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
Z
2.若复数Z满足 =i，其中i为虚数为单位，则Z=（ ）
1-i
A．1-i B．1+i C．-1-i D．-1+i
p
3.要得到函数y =sin(4x- )的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（ ）
3
p p
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
12 12
p p
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
3 3
uuur uuur
4.已知菱形ABCD的边长为a，ÐABC =60°，则BD×CD=（ ）
3 3 3 3
A．- a2 B．- a2 C． a2 D． a2
2 4 4 2
5.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（ ）
A．(-¥,4) B．(-¥,1) C．（1，4） D．（1，5）
ìx- y³0
ï
6.已知x,y满足约束条件íx+ y£2，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
ï
y³0
î
A．3 B．2 C．-2 D．-3
p
7.在梯形ABCD中，ÐABC = ，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而
2
形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
2p 4p 5p
A． B． C． D．2p
3 3 3
8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区
间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量x服从正态分布N(m,s2)，
则P(m-s< x0,a ¹1) 的定义域和值域都是-1,0 ，则
a+b=
________
x2 y2
15.平面直角坐标系xOy中，双曲线C： - =1（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C ：x2=2py(p>0)交于
a2 b2 2
O，若DABC的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为___________．
2 1
p
16.设 f(x)=sinxcosx-cosx2(x+ ) 。
4
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
A
（Ⅱ）在锐角DABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若f（ ）=0，a=1，求面DABC积的最大
2
值。
17.如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中
点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH
与平面ACFD所成的角（锐角）的大小。
第2页 | 共3页18.设数列 { a } 的前n项和为S 。已知2S =3n +3。
n n n
{ }
（Ⅰ）求 a 的通项公式；
n
（Ⅱ）若数列 { b } 满足ab =log 2，求 { b } 的前n项和T 。
n n n 3 n n
19.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”
（如137，359，567等）.
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规
则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被
10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .
x2 y2 3
20.平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，左、右焦点分别是
a2 b2 2
F、F 。以F 为圆心以3为半径的圆与以F 为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆𝐶上。
1 2 1 2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
x2 y2
（Ⅱ）设椭圆E: + =1为椭圆C上任意一点，过点P的直线 y =kx+m交椭圆E于A，B两点，
4a2 4b2
射线PO交椭圆E于点Q.
|OQ|
（i）求 的值；
|OP|
（ii）求DABQ面积的最大值。
将 y =kx+m 代入椭圆C的方程
21设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x2 -x)，其中aÎR。
（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若" >0, f(x)³0成立，求a的取值范围。
x
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