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2015 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析
题目1：
答案：5
解析：集合A 与B 的并集元素为{1,2,3,4,5}，共5 个元素。
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题目2：
答案：6
解析：数据均值为(4+6+5+8+7+6)/6=6。
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题目3：
答案：√5
解析：由|z|²=|3+4i|=5，得|z|=√5。
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题目4：
答案：7
解析：模拟程序执行，S 初始为1，I 初始为1；循环三次后S=7，I=10 终止循环。
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题目5：
答案：5/6
解析：随机取两球的基本事件共6 种，颜色不同的有5 种，概率为5/6。
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题目6：
答案：-3
解析：由向量关系得方程组2m+n=9、m-2n=-8，解得m=2,n=5，故m-n=-3。
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题目7：
答案：(-1,2)
解析：不等式等价于x²-x-2<0，解得-1<x<2。
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题目8：
答案：3
解析：由两角和正切公式得(-2+tanβ)/(1+2tanβ)=1/7，解得tanβ=3。
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题目9：
答案：√7
解析：原体积和=π(25×4/3+4×8)=196π/3。新半径r 满足28πr²/3=196π/3，解得r=√7。
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题目10：
答案：(x-1)²+y²=2
解析：圆心到直线距离d=| -m-1 |/√(m²+1)≤√2，当m=1 时d_max=√2，对应最大半径圆。
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题目11：
答案：20/11
解析：由递推式得aₙ=n(n+1)/2，则1/aₙ=2(1/n-1/(n+1))，前10 项和为2(1-1/11)=20/11。
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题目12：
答案：√2/2
解析：双曲线渐近线x±y=0，点线距离最大值即直线x-y+1=0 与x-y=0 的距离。
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题目13：
答案：4
解析：|f(x)+g(x)|=1 等价于g(x)=-f(x)±1，分别作图象得4 个交点。
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题目14：
答案：9√3
解析：向量点积aₖ·aₖ₊₁=cos(π/6)+sin((2k+1)π/6)+½cos((2k+1)π/6)，k=0 到11 求和得9√3。
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题目15：
答案：
(1) BC=√7
(2) sin2C=4√3/7
解析：
(1) 余弦定理BC²=4+9-2×2×3×cos60°=7。
(2) 正弦定理sinC=2sin60°/√7=√21/7，cosC=2√7/7，故sin2C=2×(√21/7)×(2√7/7)。
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题目16：
解析：
(1) DE 为中位线平行于AC，AC 在平面AA₁C₁C 内，故DE∥平面。
(2) 由直棱柱性质得AC⊥平面BCC₁B₁，进而BC₁⊥AC；正方形BCC₁B₁ 中BC₁⊥B₁C，故
BC₁⊥平面AB₁C，得BC₁⊥AB₁。
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题目17：
答案：
(1) a=1000, b=0
(2) ① f(t)=1.5√(t²+4×10⁶/t⁴), t∈[5,20]
② t=10√2 时f(t)ₘᵢₙ=15√3
解析：
(1) 代入点M(5,40),N(20,2.5)得方程组解得参数。
(2) ① 求导得切线方程，截距坐标代入距离公式。
② 设g(t)=t²+4×10⁶/t⁴，导数分析得t=10√2 时g(t)最小。
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题目18：
答案：
(1) x²/2+y²=1
(2) y=x-1 或y=-x+1
解析：
(1) 离心率及准线条件解得a=√2,c=1,b=1。
(2) 设AB:y=k(x-1)，联立椭圆得弦长|AB|；求垂直平分线得PC 长，由PC=2|AB|解出
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k=±1。
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题目19：
答案：c=1
解析：
(1) 求导讨论：a>0 时f(x)在(-∞,-2a/3)∪(0,+∞)增，(-2a/3,0)减；a<0 时类似。
(2) 由三个零点条件得b(4a³/27+b)<0，代入b=c-a 得g(a)=4a³/27-a+c 符号变化区间与给定a
范围一致，解得c=1。
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题目20：
解析：
(1) 2^{aₙ₊₁}/2^{aₙ}=2ᵈ为常数，故成等比数列。
(2) 假设存在，令t=d/a，得矛盾方程，故不存在。
(3) 假设存在，通过对数变换得方程ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)，构造
函数分析无解。
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题目21：
解析：由AB=AC 得∠ABD=∠C；由同弧得∠C=∠E，故∠ABD=∠E；公共角∠BAE，故
△ABD∽△AEB。
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题目22：
答案：矩阵A=[−1210]，另一特征值1
解析：由Aα=-2α 得方程组x-1=-2,y=2；特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1)。
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题目23：
答案：√6
解析：极坐标方程化为直角坐标x²+y²-2x+2y-4=0，配方得半径√6。
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题目24：
答案：{x|x≤-5 或x≥-1/3}
解析：分x≥-3/2 和x<-3/2 讨论，去绝对值解不等式。
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题目25：
答案：
(1) √3/3
(2) 2√5/5
解析：
(1) 建系求法向量，平面PAB 法向量AD=(0,2,0)，平面PCD 法向量m=(1,1,1)，夹角余弦为|
(0·1+2·1+0·1)/(2·√3)|。
(2) 设BQ=λBP，向量夹角公式转化为关于λ 的函数，求极值得λ=2/5 时角最小。
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