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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ·参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1.
2.2
3.5
4.
5.
6.
7.
8.16
9.10
10.4
11.
12.
13.
14.
二、解答题
15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
满分14分.
解：（1）因为
，
由余弦定理
，得
，即
.
所以
.
（2）因为
，
由正弦定理
，得
，所以
.
从而
，即
，故
.
因为
，所以
，从而
.
因此
.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推
理论证能力.满分14 分.
证明：（1）因为D，E 分别为BC，AC 的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1
平面DEC1，
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所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E 为AC 的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础
知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14 分.
解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.
因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=
，AF2⊥x 轴，所以DF2=
，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C 的标准方程为
.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆C：
，a=2，
因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.
将x=1 代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由
，得
，
解得
或
.
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将
代入
，得
，
因此
.又F2(1，0)，所以直线BF2：
.
由
，得
，解得
或
.
又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以
.
将
代入
，得
.因此
.
解法二：
由（1）知，椭圆C：
.如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴.
因为F1(-1，0)，由
，得
.
又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以
.
因此
.
18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学
知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.
解：解法一：
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（1）过A作
，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，
.'
因为PB⊥AB，
所以
.
所以
.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半
径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知
，
从而
，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的
半径，点P符合规划要求.
设
为l上一点，且
，由（1）知，
B=15，
此时
；
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当∠OBP>90°时，在
中，
.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2 ）知，要使得QA≥15 ，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求. 当QA=15 时，
.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=
时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ=17+
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+
（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为
.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为
，
直线PB的方程为
.
所以P（−13，9），
.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
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②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：
.
在线段AD上取点M（3，
），因为
，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的
半径，点P符合规划要求.
设
为l上一点，且
，由（1）知，
B=15，此时
（−13，9）；
当∠OBP>90°时，在
中，
.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），
由
，得a=
，所以Q（
，9），此时，线段QA
上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（
，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为
（百米）.
19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理
能力．满分16分．
解：（1）因为
，所以
．
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因为
，所以
，解得
．
（2）因为
，
所以
，
从而
．令
，得
或
．
因为
，都在集合
中，且
，
所以
．
此时
，
．
令
，得
或
．列表如下：
1
+
0
–
0
+
极大值
极小值
所以
的极小值为
．
（3）因为
，所以
，
．
因为
，所以
，
则
有2个不同的零点，设为
．
由
，得
．
列表如下：
+
0
–
0
+
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极大值
极小值
所以
的极大值
．
解法一：
．因此
．
解法二：
因为
，所以
．
当
时，
．
令
，则
．
令
，得
．列表如下：
+
0
–
极大值
所以当
时，
取得极大值，且是最大值，故
．
所以当
时，
，因此
．
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20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综
合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由
，得
，解得
．
因此数列
为“M—数列”.
（2）①因为
，所以
．
由
，得
，则
.
由
，得
，
当
时，由
，得
，
整理得
．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n
.
②由①知，bk=k，
.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以
，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有
．
设f（x）=
，则
．
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令
，得x=e.列表如下：
x
e
(e，+∞)
+
0
–
f（x）
极大值
因为
，所以
．
取
，当k=1，2，3，4，5时，
，即
，
经检验知
也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，
则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）
已知矩阵
（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知两点
，直线l的方程为
.
（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.
C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设
，解不等式
.
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【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）设
.已知
.
（1）求n的值；（2）设
，其中
，求
的值.
23. （本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集
，
令
.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4–2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）因为
，
所以
=
=
．
（2）矩阵A的特征多项式为
.
令
，解得A的特征值
.
B．[选修4–4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
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解：（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，
），B（
，
），
由余弦定理，得AB=
.
（2）因为直线l的方程为
，
则直线l过点
，倾斜角为
．
又
，所以点B到直线l的距离为
.
C．[选修4–5：不等式选讲]
本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．
解：当x<0时，原不等式可化为
，解得x<-
；
当0≤x≤
时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；
当x>
时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.
综上，原不等式的解集为
.
22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分
10分．
解：（1）因为
，
所以
，
．
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因为
，
所以
，
解得
．
（2）由（1）知，
．
．
解法一：
因为
，所以
，
从而
．
解法二：
．
因为
，所以
．
因此
．
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维
能力和推理论证能力．满分10分．
解：（1）当
时，
的所有可能取值是
．
的概率分布为
，
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．
（2）设
和
是从
中取出的两个点．
因为
，所以仅需考虑
的情况．
①若
，则
，不存在
的取法；
②若
，则
，所以
当且仅当
，此时
或
，有2 种取法；
③若
，则
，因为当
时，
，所以
当且仅当
，此时
或
，有2 种取法；
④若
，则
，所以
当且仅当
，此时
或
，有2 种取法．
综上，当
时，
的所有可能取值是
和
，且
．
因此，
．
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