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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷07·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C A A C A A D D B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 13． 或 6（答案不唯一）
14． 8 11 15. ①③
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）根据线面平行的判定，只需过点 作与平面 中任一一条直线平行的直线即可；
（2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求
得线面角的正弦值.
【详解】（1）取 的中点 ，连结 ，如下所示：
因为 为正方体， 为 的中点， 为 的中点，所以 //CE，又因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
故过点 可以作出 与平面 平行，也可以做出其它直线，答案不唯一.
（2）因为 是正方体，设其棱长为 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
如下所示：
则有 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，
所以有 ，令 ，可得 ，所以 ，
所以 = ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
17．（14分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理边化角即可结果；
（2）利用正弦定理可得 .若选条件①：根据题意可得 ，进而分析其唯一
性即可；若选条件②：利用余弦定理可得 ， ，进而求 ，进而可得面积；若选条件③：
根据周长可得 ，利用余弦定理并分析其唯一性.【详解】（1）因为 ，即 ，
可得 ，
且 ，所以 .
（2）因为 ， ，由正弦定理可得 ，
可得 .
若选条件①：因为 ， ，即 ，
可得 ，可知满足条件的角A有两个，不唯一，不合题意；
若选条件②：因为 ，
由正弦定理可得 ，
且 ，则 ，可得 ，
则 ， ，
因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，
又因为 ，
所以 的面积 ；
若选条件③：因为 的周长是 ，
则 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
整理可得 ，且 ，
可知方程 有2个不相等的实根 ，
且 ，可知方程 有2个不相等的正实根，
即边a不唯一，不合题意.
综上，只有选条件 符合题意
18．（13分） ② .【答案】(1)（i） ；（ⅱ） ；
(2)7.
【分析】（1）（i）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；
（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期
望即得.
（2）求出 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值 的最小值，由题设信息列出不等式求解
即得.
【详解】（1）当 时，
（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为 ，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为 ，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为 .
（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频
率为 ，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概
率估计为 ，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的
概率估计为 ，
的所有可能值为6，7，8，
， ， ，
所以 的数学期望 .
（2）由表知， ，则 ，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，则 的最大值为69，
100名学生科普测试成绩的平均值记为 ，要 恒成立，当且仅当 ，
显然 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此 ，则 ，解得 ，
所以根据表中信息能推断 恒成立的a的最小值是7.
19．（15分）【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出点 的纵坐标，然后代入两点间距离公式求解，即可得到结果；
（2）设出直线 的方程，将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理代入计算，然后由直线的斜率公式求出直
线 的方程，利用弦长公式以及三角形的面积公式进行求解，即可得到结果.
【详解】（1）不妨设 ，将 代入椭圆方程可得 ，
则 .
（2）
由（1）可知，若点D在第一象限，则 ，
不妨设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线与椭圆方程 ，消去 可得 ，
由韦达定理可得 ，
因为直线DA，DB的斜率之和等于1，所以 ，
且点 均在直线 上，则 ，
整理可得 ，
将 代入，可得 ，
整理可得 ，
因为直线 不过点 ，所以 ，则 ，
此时直线 的方程为 ，且过定点 ，且满足 ，即 ，
又 ，
且点 到直线 的距离 ，所以 ，
不妨设 ，此时 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
则 的面积的最大值为 .
20．（15分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）将 代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，利用点斜式即可；
（2）先对原函数求导，然后利用分类讨论的思想进行分析求解即可；
（3）构造函数，将问题转化，然后利用函数导数的单调性求解即可.
【详解】（1） ，
，
，
当 时， ，
切点坐标为 ，
又 ， 切线斜率为 ，
曲线 在 处切线方程为：
.
（2） ， ，
， ，
， ，①当 时， 成立，
的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
②当 时，令 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减
时， ， 在 上单调递增
综上: 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（3） ，
，
，
令 ， ，
由已知可得：
且 ，
的单调区间是
， ，
时， 恒成立，
， ，
令 ， ，即证 ， ，
成立，
的单调递减区间为 ，
，
恒成立，
综上： 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数
取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
21．（15分）
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)当 为偶数时， 的最小值是 ；当 为奇数时， 的最小值是 .
【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明 ，故可推知 和 不能同时为零，进而得到结论；
（3）对 的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.
【详解】（1）以 为首项的最长递增子列是 ，以 为首项的最长递减子列是 和 .
所以 ， .
（2）对 ，由于 是 的一个排列，故 .
若 ，则每个以 为首项的递增子列都可以在前面加一个 ，
得到一个以 为首项的更长的递增子列，所以 ；
而每个以 为首项的递减子列都不包含 ，且 ，
故可将 替换为 ，得到一个长度相同的递减子列，所以 .
这意味着 ；
若 ，同理有 ， ，故 .
总之有 ，从而 和 不能同时为零，
故 .
（3）根据小问2的证明过程知 和 不能同时为零，故 .
情况一：当 为偶数时，设 ，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， .
则对 ，有 ， .
故此时 .
结合以上两方面，知 的最小值是 .
情况二：当 为奇数时，设 ，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， .则对 ，有 ， .
故此时 .
结合以上两方面，知 的最小值是 .
综上，当 为偶数时， 的最小值是 ；当 为奇数时， 的最小值是 .
【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某
个数，再说明该表达式在某种情况下能取到，就得到了最小（或最大）值是，这便是“求最小（或最大）
值”的本质. 而在这个过程中，“想到的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，
包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，
“如何想到的取值”无需交代，不影响解答的正确性. 换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结
果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的. 在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接
化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大
值的原始定义和本质.
