文档文本内容
高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ， ，
所以 或 .
故选：D
2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】因为 ，
可知复数 对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B.
3．若向量 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 与 的夹角为 ，
由于 ，所以 ，所以 ，由于 ，所以 .
故选：C
4．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 在 上是减函数， 没有奇偶性， 是偶函数，
只有 既是奇函数，又在 上是增函数.
故选：D
5．已知二项式 的展开式中 的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 的展开式的通项公式
.
令 ，解得 ，
可得 ，
即 的系数为 .
故选：A.
6．已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为 的直线与直线 交于点A，点M在抛物线上，且
满足|MA|=|MF|，则 （ ）A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【详解】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为 的直线方程为y=-(x-1)=-x+1，
令x=-1⇒y=2，则由题A(-1,2)，
因为|MA|=|MF|，所以 垂直于直线 ，故y =2，
M
又M在抛物线上，所以由22=4x ⇒x =1，
M M
所以|MF|=x +1=2.
M
故选：C.
7．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在 中，由 及正弦定理,
得 ，
则 ，而 ，解得 ，又 ，
所以 .
故选：C
8．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 可得： ，
解得： ，
所以“ ”能推出“ ”，
但“ ”推不出“ ”，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
9．十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可
视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ．在底面
中，若 ，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．27 D．
【答案】C
【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱 与两个三棱锥 ， 拼接而成.
记直三棱柱 的底面 的面积为 ，高为 ，所求几何体的体积为 ，
则 ，
因为两个直三棱柱相同，故 ，
所以.
故选：C.
10．已知 是数列 的前 项和，若 ，数列 的首项
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由已知 ，
则 ，
则 ，
再根据二项式 的展开式中二项式系数的性质可知 ，
则 ，
又 ，可得 ，且 ，
则 ，
所以当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
则.
故选：A.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则 .
【答案】
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，
所以 .
故答案为：
12．已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为 ．
【答案】
【详解】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
故答案为：13．在平面直角坐标系 中，角 的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆 交于点 （ 不在坐标轴
上）．过点 作 轴的垂线，垂足为 ．若记 为点 到直线 的距离，则 的最大值为
，此时 的一个取值为 .
【答案】 /0.5 （答案不唯一）
【详解】依题意， ， 且 ， ，
由 ，得 ，
当且仅当 或 ，即 ， 时取等号，
所以 的最大值为 ， .
故答案为： ；
14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量
器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为
，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【答案】 23 57.5/
【详解】设升量器的高为 ，斗量器的高为 （单位都是 ），则 ，故 ， .
故答案为： .
15．已知函数 ，给出下列四个结论：
①对任意实数 ，函数 总存在零点；
②存在实数 ，使得函数 恒大于0；
③对任意实数 ，函数 一定存在最小值；
④存在实数 ，使得函数 在 上始终单调递减.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①④
【详解】令 ，则 或 ，令 ，则 ，
且 和 的图象分别如下所示：
当 时， 的零点有 和 ，
当 时， 的零点有 ，故①正确，
对于②,当 时，当 时， ，不满足题意，
当 时，由于 ，不满足 恒大于0；故不存在实数 ，使得函数 恒大于0，②错误，对于③,当 时， 的图象如下所示：此时 不存在最小值；故③错误
对于④，当 ， 图象如下：函数 在 上始终单调递减.故④正确
故答案为：①④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．在 中， ， .
(1)求 的大小；
(2) 是 的中点.从条件① ，条件② ，条件③ 中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求 的面积；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又因为 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，则 ，所以 .
（2）对于①： 边上的中线长为 ，
在 ，由余弦定理得即 ，解得 ，
则 ，
所以 的面积为 ；
对于②：因为 ，解得 ，
则 ，
所以 的面积为 ；
对于③：若 ，这与 相矛盾，不合题意；
17．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形且 ， 是边长为 的等边三角
形， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 与 交于点 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【详解】（1）如图，设 与 交于点 ，连接 .
因为 分别为 的中点，底面 是菱形，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）连接 ，因为 是边长为 的等边三角形， 为 的中点，
所以 .
因为底面 是菱形且 ，易知 为等边三角形，所以 .
易知 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
取 ，则 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
则 ，取 ，则 ，所以 .
所以 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .18．2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取
得了很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知
识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学
生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
基
实践 理论 中等 优异
础
基础
中等
优异
(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为 ．
求 ， 的值；
(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取 人，求至少有一个
人实践能力的成绩为优异的概率；
(3)若基础、中等和优异对应得分为 分、 分和 分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出 的值．
（直接写出答案）
【详解】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有 人，
则 ，得 ，
又 ，得 ．
（2）由（Ⅰ）知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人，实践成绩也为优异的概率为 ，
所以从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优异的概率为
．（3）由题意， ，
设理论成绩为X，，则X取值为 ，
对应的人数分别为 ，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
，
所以参赛学生理论成绩的方差为
因为 ，所以当 时，方差最小.
19．设椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点 ， ．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若 的面积是 面积
的 倍，求直线 的方程．
【详解】（1）由题意可知， 解得
，
则椭圆方程为 ，椭圆的离心率为 .（2）由题意可知，直线 的斜率存在且不为0， ，设直线方程为 ，
取 ，得 ，
联立 得 ， ，
，得 ，则 ．
，
.
因为 的面积是 面积的 倍，
，即 ，得 ，
直线 的方程为 ．
20．已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最小值．
【详解】（1）由题 ，在 处， ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 .（2）解法一：由（1）可得 ，
因为 ，故f'(x)与 同号．
令 ，因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 是 的唯一零点，
所以 是 的唯一解，
f'(x)与 的情况如下：
f'(x) － 0 ＋
极小值
所以 的单调递增区间是 ，递减区间是 .
解法二：当 时， ， ，所以f'(x)<0，故 单调递减；
当 时， ， ，所以f'(x)>0，故 单调递增，
所以 的单调递增区间是 ，递减区间是 .
（3） 且 时 ，又由（2）知函数 在 上单调递增，
若 对于 恒成立，则 ，两边取对数 得 ，
所以 对于 恒成立，
设 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，所以 ，
所以 的最小值为 .
21．设自然数 ，由 个不同正整数 构成集合 ，若集合 的每一个非空
子集所含元素的和构成新的集合 ，记 为集合 元素的个数
(1)已知集合 ，集合 ，分别求解 ．
(2)对于集合 ，若 取得最大值，则称该集合 为“极异集合”
①求 的最大值（无需证明）．
②已知集合 是极异集合，记 求证：数列 的前 项和 ．
【详解】（1）已知集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即 ．
集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即
（2）①集合 共有 个非空子集， 的最大值为
② ，
即证
不妨设 ，即 的非空子集中元素和最小的子集的为 ，最大的为集合 是极异集合， ，代表有 个不同的正整数，
即 ，
所以 中有 个元素，由元素互异性可得
又 ，即可得 ，
因此数列 的前 项和 .
