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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷04·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C C A D B C D D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 或 12． / 13． （答案不唯一）
14． 4 3或4 15. ②④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求解即可;
（2）结合正弦定理和余弦定理求解即可;
【详解】（1）由正弦定理得 ,--------------1
得 ,--------------2
,--------------3
因为 ,
所以
则 .--------------4
所以 ,
所以 .--------------5（2）选条件①:
因为 , --------------6
由正弦定理得 ,--------------7
由余弦定理得 ,--------------8
解得 ，--------------9
则 ,
解得 ，--------------11
所以 存在且唯一确定,
则 .--------------13
选条件②: ,
已知 --------------6
由正弦定理得 ,--------------8
因为 ,
所以 ,--------------9
, --------------11
所以 存在且唯一确定,--------------12
则 .--------------13
选条件③: ,
由余弦定理得 ,--------------8
即 ,--------------9
所以 ,--------------10
即 ,--------------11
因为 ,--------------12
所以不存在 使得 存在.-------------1317．（14分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得；
（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.
【详解】（1）取 中点 ，连接 、 ，--------------1
由 ， ，故 、 ，-------------2
又 、 平面 ， ，
则 平面 ，--------------4
又 平面 ，故 ；--------------5
（2）由侧面 底面 ，且 ， 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ，
即有 、 、 两两垂直，--------------7
故可以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 ，
由 ， ， ， ， ，
则 ， ，
即 、 、 、A(1,0,0)、 ，--------------8
、 、 ，
令 ，则 ，--------------9
由 ，故 ，解得 ，
故 ，--------------10
令平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则有 ，令 ，则有 ，--------------12
由 轴 平面 ，故平面 的法向量可为 ，--------------13
则 ，故二面角 的余弦值为 .--------------14
18．（13分）
【答案】(1)①0.16；②3.128
(2)答案见解析..
【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；
（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.
【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件 ，则 ；--------------1
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量 ，
则 的所有可能取值为2，3，4，--------------2
连败两局： ，--------------3
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，-------------4
；--------------5
故 的分布列如下：
2 3 4
故数学期望 ；--------------6
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率 ，--------------7
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为 ，
由 ，且 --------------8
所以 时， ，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；--------------10时， ，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；--------------12
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.--------------13
19．（15分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于 的方程，代入计算，即可求解；
（2）当直线l的斜率不存在时，验证 ，即 ．当直线l的斜率存在时，设l：
，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，分别表示出 坐标，利用向量的数量积，
转化求解即可．
【详解】（1）由题意可得， ，--------------1
解得 ，--------------3
所以椭圆的方程为 .--------------4
（2）
当直线l的斜率不存在时，
有 ， ， ，
则 ， ，故 ，即 ．--------------5
当直线l的斜率存在时，设l： ，其中 ．--------------6
联立 ，得 ，--------------7
由题意，知 恒成立，设 ，则 ， ．--------------8
直线MA的方程为 ，--------------9
令 ，得 ，即 ，同理可得 ．
所以 ， ．--------------10
因为 --------------12
，--------------14
所以 ．--------------15
综上所述， ．
20．（15分）
【答案】(1)
(2) 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；
（2）根据 可求出 ，并对其进行检验即可求解；
（3）分 和 两种情况，求出函数 在区间 上的最大值即可作答.
【详解】（1）由 可得
，--------------2
当 时， ， ，--------------3
在点 处的切线方程为 ；--------------4
（2）因为 在 处取得极值，所以 ，解得 ，--------------5
检验如下：令 ，解得 或 ，--------------6
若 或 时，则 ；若 ，则 .
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
故 在 处取得极小值，满足题意，--------------8
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；--------------9
（3）由（1）知 ，由 时，得 ，因 ，--------------10
当 时，当 时， ，即函数 在 上单调递减，则 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解；--------------11
当 时，当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在 上
递增， --------------12
于是得 在 上的最大值为 或 ，而 ， ，--------------13
，即 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解，--------------14
所以当 时，关于 的不等式 在区间 上无解.--------------15
21．（15分）
【答案】(1)
(2)不存在 ，使得 成立
(3)
【分析】（1）根据题目给出的集合 的定义求解即可；
（2）使用假设法，假设存在 ，使得 ，进行计算检验，从而得出结论；
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，然后证明除 形式以外的数都可以写
成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意可得 ， ， ，--------------1
所以 .--------------2
（2）假设存在 ，使得 ，--------------3
则有 ，--------------4由于 与 的奇偶性相同， 与 奇偶性不同，--------------5
又 ， ，
所以 中必有大于等于 的奇数因子，这与 无 以外的奇数因子矛盾，--------------6
故不存在 ，使得 .--------------7
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，--------------8
因为 ，--------------9
由于 与 均大于 且奇偶性不同，
所以 为奇数，对任意的 都有 ，--------------10
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，--------------11
若正整数 ，其中 ，
则当 时，由等差数列的性质可得：
，此时
结论成立，--------------12
当 时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成
立，--------------13
对于数列 ，此问题等价于数列 其相应集合 中满足 有多少项，--------------14
由前面证明可知正整数 不是 中的项，
所以 的最大值为 .--------------15
【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论的思想，
计算量较大，属于难题.
