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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网
方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书
之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为 ， 斜边为 （ 、
、 均为正数）.则 ， ”.某同学读到
此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长 的软钢丝作为 的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦
图”的最小面积为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
7．已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，则“ ”是“函数 有零点”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要
9．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学
启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形
铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从
最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为 ，已知 ．为了将
容器中的水倒出，以 为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面
距离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 展开式的常数项为15，则展开式的各项系数和为 ．12．抛物线 的焦点 的坐标为 ，过焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，
则 .
13．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为 .已知我国
某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为 ，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，
处理后废气中剩余二氧化硫的浓度 （单位： ）与处理时间 （单位：分钟）满足关系式：
，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：
，结果取整数）
14．如图，圆内接四边形 中， 为直径， ， .则 的长度为 ；
.
15．在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的
价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数 ，使得对一切正整数 ，都有 ，则称 为
有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收敛数列，如数列 ，
显然对一切正整数 都有 ，而 的极限为 ，即数列 既有界也收敛.如数列 ，显然对一切正整数 都有 ，但不存在极限，即数列 有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有
①． ②．
③． ④．
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）已知向量 ， ，函数 ，将函数
的图象向右平移 个单位长度可得到 的图象.
(1)求函数 的解析式；
(2)设锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 ，求 周长的最
大值.
17．（14分）现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期内分裂一次，一个 细胞每次分裂能生成一个
或两个新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失．设每次分裂成一个新 细胞的概率为 ，分裂成两个新
细胞的概率为 ；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的
细胞，从第一个周期开始分裂．
(1)当 时，求 个周期结束后 细胞数量为 个的概率；
(2)设 个周期结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望．18．（14分）如图，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形， ，点 为
的中点.
(1)已知点 为线段 的中点，求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥 唯一确定，求：
（ⅰ）直线 到平面 的距离；
（ⅱ）二面角 的余弦值.
条件①： 平面 ；
条件②： ；
条件③： 平面 平面 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
19．（15分）在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足直线 与直线 的斜
率之积为 ，设点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，证明： .20．（15分）设函数 ， 已知曲线 在点
处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
21．（15分）若存在常数 ，使得数列 满足 ，则称数列 为“
数列”．
(1)判断数列：1，3，5，10，152是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)若数列 是首项为2的“ 数列”，数列 是等比数列，且 与 满足
，求 的值和数列 的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，证明：
