文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算
【分析】利用交集概念进行求解.
【详解】由题得 ，且 ，故 ．
故选：B
x+ yi
2．已知 =2-i，x,y∈R，则x+ y=（ ）
1+i
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据条件得出x+ yi=(1+i)(2-i)，再根据复数的乘法运算可得出x+ yi=3+i，然后即可求出
x+ y的值．
x+ yi
【详解】解：∵ =2-i，∴x+ yi=(1+i)(2-i)=3+i，
1+i
∴x=3，y=1，∴x+ y=4.
故选：C.
3．已知平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．12
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故选：B.4．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据正弦和余弦二倍角公式化简得到 ，再利用正切二倍角公式求出答案.
【详解】 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故 ，即 ，
则 .
故选：D
5．已知函数f (x)=x2+aln(x-1)有极值点，则实数a的取值范围为（ ）
( 1) ( 1]
A．(-∞,0] B．(-∞,0) C． 0, D． -∞,
2 2
【答案】B
【分析】首先求函数的导数，转化为导函数有大于1的变号零点，即可求解.
a 2x2-2x+a
【详解】f'(x)=2x+ = =0，x>1，
x-1 x-1
1
即2x2-2x+a=0有实数根，因为函数y=2x2-2x+a的对称轴为x= ，
2
所以函数在区间(1,+∞)有零点，只需满足2×12-2×1+a<0，得a<0.
故选：B
6．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片． 表
示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”， 表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”， 表示“事
件两次取出的卡片上的数字之和为6”， 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A． 与 相互独立 B． 与 相互独立C． 与 相互独立 D． 与 相互独立
【答案】B
【解析】由题意知 ， ，
，
，
因为 ，所以A错误，
因为 ，所以B正确，
因为 ，所以C错误，
因为 ，所以D错误．故选：B
π π
7．已知函数f (x)=sin ( ωx- ) (ω>0)在区间 (- ,0 ) 上单调递增，且在区间(0,π)上有且仅有2个零点，
3 12
则ω的取值范围为（ ）
(4 7) (4 7] (4 ) (4 ]
A． , B． , C． ,2 D． ,2
3 3 3 3 3 3
【答案】D
【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出ω范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出ω
范围，由交集得出最后ω范围.
π π π
【详解】令
- +2kπ<ωx- < +2kπ,k∈Z，
2 3 2
π 2kπ 5π 2kπ
则- + <x< + ,k∈Z
6ω ω 6ω ω
π 5π π π
当k=0时， - <x< ，∴ - ≤- ，即ω≤2，
6ω 6ω 6ω 12
π π kπ
令ωx- =kπ,k∈Z，则x= + ,k∈Z，
3 3ω ω
π π 2π
∵k=-1时，x= - =- <0，
3ω ω 3ω
π 4π 7π
且k=0时，x= ，k=1时，x= ，k=2时，x=
，
3ω 3ω 3ω
4π 7π 4 7
∴ <π≤ ，∴ <ω≤ ，
3ω 3ω 3 3
4
综上， <ω≤2.
3
故选：D.
8．如图，在直三棱柱 中， ， ，E、F、G、H分别为 、 、 、的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．E、F、G、H四点共面
C．设 ，则平面 截该三棱柱所得截面的周长为
D． 、 、 三线共点
【答案】C
【解析】如图，
连接 ，由 分别为 中点，可得 ，
由 可知，侧面 为菱形，
所以 ，所以 ，故A正确；
连接 ，因为E、F、G、H分别为 、 、 、 的中点，
所以 ， ，所以 ，所以E、F、G、H四点共面，故B正确；
延长 交 的延长线于 点，连接 ，交 于 点，连接 ， ，
设 确定平面为 ，则 ，所以 ，所以 ，
则易知三棱柱的截面四边形为 ， 在 中， ，
在 中， ，而 中， ，
而 ，所以截面的周长大于 ，故C错误；
由B知， 且 ，所以梯形的两腰 、 所在直线必相交于一点 ，
因为 平面 ， 平面 ，
又平面 平面 ，所以 ，所以 与 重合，即 、 、 三线共点于 ，故D正确.故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图．
根据图中数据，下列结论正确的是（ ）
A．文化衫尺码的众数为187 B．文化衫尺码的平均数为165
C．文化衫尺码的方差为28 D．文化衫尺码的中位数为165
【答案】BD
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算几个数的平均数、由频率分布直方图估计平均数、计算几
个数据的极差、方差、标准差
【分析】根据统计图可得样本数据的平均数、众数、中位数和方差，再逐一判断即可.
【详解】解：由题图知，众数为165，故A错误；
总数为 ，
平均数为 ，故B正确；
方差为 ，故C错误；
中位数为165，故D正确．
故选：BD
10．已知点 是椭圆 ： 上一点， ， 是椭圆 的左、右焦点，且 的面积为4，则下
列说法正确的是（ ）
A．点 的纵坐标为 B．
C． 的周长为 D． 的内切圆半径为
【答案】BC
【解析】依题意，不妨设点 ，由 可得 故 ，则 的面积为 解得： ，
对于A选项，由上分析知点 的纵坐标为 ，故A项错误；
对于B选项，由 知，此时点 为椭圆短轴顶点，故 ，
又 由 知 ，故B项正确；
对于C选项，因点 在椭圆上，故有
于是 的周长为 故C项正确；
对于D选项，设 的内切圆半径为 ，则由三角形面积相等可得：
，解之得： 故D项错误.
故选：BC.
11．定义域为 的函数 ，对任意 ，且 不恒为0，则下
列说法正确的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】对于A，令 ， 或 ，结合 不恒为0，可得 ，由此即可判断；
对于B，由 ，不妨令 ，即可判断；
对于C，令 ，通过换元即可判断；
对于D，令 ，得 关于(1,0)中心对称，结合 为偶函数，可得 为周期为4的函数，算出
即可判断.
【详解】对于A，令 ，有 ，所以 或 ，
若 ，则只令 ，有 ，即 恒为0，
所以只能 ，故A正确；
对于B，由A可知 ，不妨令 ，有 ，
即 ，且函数 的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以 偶函数，即 为偶函数，故B正确；
对于C，令 ，有 ，
令 ，由x∈R，得 ，
所以当 时，有 ，即当x∈R时， ，故C正确；
对于D，若f (1)=0，令 ，有 ，
所以 关于(1,0)中心对称，
又 为偶函数，
所以 ，所以 是周期为4的周期函数，
又 ，f (1)=0，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设 是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 面
积为 .
【答案】3
【解析】由题意得双曲线中 ， ，则其焦点坐标 ，
根据双曲线对称性，不妨假设点 在第一象限，
设 ，其中 ，
因为 ，则 ，
根据勾股定理知 ，即 ，解得 （负舍），
则 ，则 面积为 .
故答案为：3.
13．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的
直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为
．若圆柱的体积为 ，则该球的内接正方体的体积为 ．
【答案】
【解析】设圆柱的内切球的半径为 ，因为圆柱的体积为 ，所以 ，解得 ，
设该球的内接正方体的棱长为 ，则 ，即 ，
所以该球的内接正方体的体积为 ．
故答案为：
14．袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球.每次从中任取2个球，然后放回2个红球.设第一
次取到白球的个数为ξ，则ξ的数学期望E(ξ)= ；第二次取到1个白球1个红球的概率为
.
6 27
【答案】 /0.54
5 50
【分析】分析可知随机变量ξ的可能取值有0、1、2，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可计算出
E(ξ)的值；记事件A :第一次取到的白球有i个，其中i=0、1、2，记事件B:第二次取到1个白球1个红球，
i
利用全概率公式可求得P(B)的值.
【详解】解：由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2，
C2
1
C1C1
3
C2
3
则P(ξ=0)= 2 = ，P(ξ=1)= 2 3 = ，P(ξ=2)= 3 = ，
C2 10 C2 5 C2 10
5 5 5
1 3 3 6
所以，E(ξ)=0× +1× +2× = .
10 5 10 5
记事件A :第一次取到的白球有i个，其中i=0、1、2，
i1 3 3
则P(A )= ，P(A )= ，P(A )= ，
0 10 1 5 2 10
记事件B:第二次取到1个白球1个红球，
则P¿，P¿，P¿，
2
由全概率公式可得P(B)=∑ P(A )⋅P¿¿.
i
i=0
6 27
故答案为： ； .
5 50
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）在 中， ， ， 的面积为 ．
(1)求 ；
(2)求BC边上的高．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）根据已知以及余弦定理可得， ，
整理可得， ，
所以由余弦定理可得， .
又 ，所以 .
（2）由已知结合三角形面积公式可得， ，
所以， .
根据余弦定理可得， ，
所以， .
设BC边上的高为 ，则 ，
即 ，解得 .
16．（15分）已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 在 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)【解析】（1） ， ，
所以 在 处的切线方程为： ，即 .
（2）因为 在 上有解，所以 在 上有解，
当 时， 在 上有解，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，故 ，
则当 时， ，即 ．
所以，当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，
综上可知，实数 的取值范围是 ．
17．（15分）如图，在四棱锥 中， ，四边形 是菱形，
是棱 上的动点，且 ．
(1)证明: 平面 ．
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ?若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 .
【分析】（1）由题设 ，根据线面垂直的判定得 平面 ，再由线面垂直的性质有
，并由勾股定理证 ，最后应用线面垂直的判定证结论；
（2）取棱 的中点 ，连接 ，构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余
弦值，结合已知列方程求参数 ，即可判断存在性.
【详解】（1）
因为四边形 是菱形，所以 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .
（2）
取棱 的中点 ，连接 ，易证 两两垂直，
故以 为原点，分别以 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设 ，则 ，故 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ．
平面 的一个法向量为 ,设面 与面 所成的锐二面角为 ，
则 ，整理得 ，解得 (舍去)．
故存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 ．
18．（17分）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(t,2)是C上的一点，且|MF|=2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点A(x ,y ),B(x ,y )（其中x <x ）是C上异于M的两点，∠AMB的角平分线与x轴垂直，N为
1 1 2 2 1 2
线段AB的中点.
（i）求证：点N在定直线上；
（ii）若△MAB的面积为6，求点A的坐标.
【答案】(1)y2=4x
(11-3❑√13 )
(2)（i）证明见解析；（ii）A(0,0)或A ,❑√13-3
2
【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解；
（2）（i）由题意得到MA,MB的斜率互为相反数，构造方程即可求解；
（ii）写出AB直线方程，由点到线的距离公式求得高，代入三角形面积公式求解即可.
p 2
【详解】（1）因为|MF|=2，由抛物线的定义得t+ =2，又2pt=4，所以t= ，
2 p2 p
因此 + =2，即p2-4 p+4=0，解得p=2，从而抛物线的方程为y2=4x.
p 2
（2）
（i）由（1）知点M的坐标为M(1,2)，因为∠AMB的角平分线与x轴垂直，
所以可知MA,MB的倾斜角互补，即MA,MB的斜率互为相反数，
y -2 y -2 4
k = 1 = 1 =
MA x -1 y2 y +2，
1 1-1 1
4
4 4 4
同理k = ，则k +k = + =0，
MB y +2 MA MB y +2 y +2
2 1 2
y + y
化简得y + y =-4，则y = 1 2=-2，
1 2 N 2
所以点N在定直线y=-2上.
y - y y - y 4
k = 1 2= 1 2 = =-1
（ii） AB x -x y2 y2 y + y ，则直线AB:y- y =-(x-x )，
1 2 1- 2 1 2 1 1
4 4
y2
即x+ y- y - 1=0
1 4
| y2|
3- y - 1
线段AB的长度：|AB|=❑√2|y - y |，点M(1,2)到直线AB的距离 1 4 ，
1 2 d=
❑√2
| y2|
3- y - 1
可得△MAB的面积为 1 1 1 4 ，
S = ×|AB|×d= ×❑√2|y - y |×
△MAB 2 2 1 2 ❑√2
因为y + y =-4，且-2<y <2，化简得
1 2 11 |12-4 y - y2| 1
S = |2y +4| 1 1 = (y +2)[16-(y +2) 2]=6，
△MAB 2 1 4 4 1 1
令t= y +2∈(0,4)，则t3-16t+24=0，即(t-2)(t2+2t-12)=0.
1
解得t=2或t=-1±❑√13，
由t= y +2∈(0,4)知t=2或t=-1+❑√13，所以¿或¿
1
(11-3❑√13 )
所求点A的坐标为A(0,0)，或者A ,❑√13-3
2
19．（17分）若存在常数 ，使得数列 满足 ，则称数列 为“
数列”．
(1)判断数列：1，3，5，10，152是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)若数列 是首项为2的“ 数列”，数列 是等比数列，且 与 满足
，求 的值和数列 的通项公式；
(3)若数列 是“ 数列”， 为数列 的前 项和， ， ，证明： ．
【答案】(1)不是“ 数列”，理由见解析；(2) ， ；(3)证明见解析
【解析】（1）根据“ 数列”的定义，则 ，故 ，
因为 成立， 成立，
不成立，
所以1，3，5，10，152不是“ 数列”．
（2）由 是首项为2的“ 数列”，则 ， ，
由{b }是等比数列，设公比为 ，
n
由 ，则 ，
两式作差可得 ，
即 ，
由 是“ 数列”，则 ，对于 ， 恒成立，
所以 ，
即 对于 ， 恒成立，则
解得， ， ，又由 ， ，
则 ，即 ，
故所求的 ，数列{b }的通项公式 ；
n
（3）证明：要证 ， 即证 ，
因数列 是“ 数列”，则 .
则要证 ，即证 .
又 ，对于 ， 恒成立，
因为 ， ，则 ，再结合 ， ， ，
反复利用 ，可得对于任意的 ， ， ，
则要证： ，即证 .
设函数 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时，f'(x)<0，则 在区间 单调递减，
因对于任意的 ， ， ，则 .
即 ， ，…， ，
相加可得 ，即 ，故命题得证.
