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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考1卷专
用）
黄金卷08
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ，若集合A、B满足： ，则集合对 共有（ ）个．
A．36 B．48 C．64 D．81
【答案】D
【详解】因为 ， ，当 时，又 ，故 ，当集合 中有一个元素时，又
，这样的集合对有 ，当集合 中有两个元素时，又 ，这样的集合对有 ，
当集合 中有三个元素时，又 ，这样的集合对有 ，当集合 中有四个元素时，又 ，
这样的集合对有 ，所以集合对 共有 .故选：D.
2．在 年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经 场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书
写了中国网球新的历史．某学校有2000名学生，一机构在该校随机抽取了 名学生对郑钦文奥运会期间
场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下：
观看场次
观看人数占调查
人数的百分比
从表中数据可以得出的正确结论为（ ）．
A．表中 的数值为
B．观看场次不超过 场的学生的比例为C．估计该校观看场次不超过 场的学生约为 人
D．估计该校观看场次不低于 场的学生约为 人
【答案】D
【详解】由表可知， ，解得 ，选项A错误；观看场次不
超过 场的学生的比例为 ，选项B错误；观看场次不超过 场的学生的比例为
，则观看场次不超过 场的学生约为 人，选项C错误；观看场次不
低于 场的学生的比例为 ，则观看场次不低于 场的学生约为 人，
选项D正确．故选：D
3．若 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为 ，且 ， ，所以 ，
，所以
，所以
．故选：D．
4．已知 ，C是以AB为直径的圆上一点， ，D为AC的中点，则 （ ）
A．-9 B．-12 C．-15 D．-16
【答案】D
【详解】解：如图所示：因为 ，C是以AB为直径的圆上一点， ，
所以 ，
又D为AC的中点，
所以 ，
，
故选：D.
5．设函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】因为 ，令 ，
则由 ，即 ，解得 或 或 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出 ， ， ， 的图象如图所示，
由图象可知 与 有1个交点，即 有1个根，与 有3个交点，即 有3个根，
与 有2个交点，即 有2个根，
所以函数 的零点个数为 个，
故选：C
6．在三棱锥P-ABC中， ，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-
ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【详解】在 中， ，则 ， 中点 为 的外心，
于是 平面 ，取 中点 ，连接 ，则 ，而平面PAB⊥平面ABC，
平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ， ，
令正 的外心为 ，则 为 的3等分点， ，
又 平面 ，则 ，而 ，则四边形 是矩形，
，因此球O的半径 ，
所以球O的表面积为 .
故选：B7．已知点 为椭圆 上第一象限的一点，左、右焦点为 ， ， 的平分线与 轴交于
点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 为坐标原点，若 ，则 面积为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】如图所示，延长 ，交 的延长线于点 ，
因为 为 的平分线， ⊥ ，由三线合一得 为等腰三角形，
即 ， 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为 的中位线，
故 ，设 ，
由椭圆定义知， ，
由 得 ，解得 ，
故 ， ，
在 中，由余弦定理得
，
故 ，
故 .故选：C
8．已知 及其导函数 的定义域为 ， 为偶函数， 的图象关于点 对称，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 为偶函数，得 ，则 ．
两边取导数，得 ①．
由 的图象关于点(1,0)对称，得 ②．
① ②，得 ，所以 ，
则数列 中所有奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是公差为2的等差数列．
在 中，令 ，得 ．
在 中，令 ，得 ．
在 中，令 ，得 ，
所以 ，
所以数列 是以0为首项，1为公差的等差数列，所以 ，则 ．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．函数 过定点 ，若 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． 的最小值为
C． 最小值为 D． 最小值为
【答案】BC
【详解】对A：由 ，故 ，
由 ，
故有 ，即 ，故A错误；
对B：由 ，则 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故B正确；
对C： ，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对D： ，
当且仅当 时，等号成立，
即 最大值为 ，故D错误.
故选：BC.10．在直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形，且满足 ，若点P满足
，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为定值
B．当 时， 的面积S的最大值为
C．当 时，有且仅有一个点P，使得
D．当 时，有且仅有一个点P，使得 平面
【答案】AC
【详解】由题意得， .
∵ ， 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
∵ ，∴ 平面 .
由 得点 在四边形 内（包含边界）.
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
∴ ，∴ ，由 得， .
A. 当 时， ，此时点 到 距离为 ，
故 ，为定值，选项A正确.
B. 当 时， ， ，当 时， ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
∴ ，最大值为 ，选项B错误.
C. 当 时， ，
由 得， ，故有且仅有一个点P，使得 ，选项C正确.
D. 当 时， ，
由题意得，四边形 为正方形，故 ，
要使 平面 ，需 ，
∵ ，∴ 不成立，选项D错误.
故选：AC.
11．已知抛物线 的焦点为 ，圆 ，圆 上存在动点 ，过 作圆 的
切线 ，也与抛物线 相切于点 ，抛物线 上任意一点 到直线 与直线 的距离分别为 ．若
点 的坐标为 ，则（ ）A．
B．
C． 的最小值为
D．圆 上的点到直线 的最大距离为
【答案】BCD
【详解】由圆 ，得圆心 ，又点 的坐标为 ，所以
．
因为直线 为圆 的切线，所以 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，即
．联立得方程组 ，消去 并整理，得 ．因为直线 与抛物
线 相切，所以 ，解得 （ 舍去），所以抛物线的方程为 ，所以
，
当 时，方程 为 ，解得 ，所以 ，解
得 ，所以切点 ，所以 ，故A错误，B正确．设点 到直线 的距离为 ．因为 ，所以 ．因为点 到直线 的距离 ，所以
，故C正确．因为 ，所以直线 的方程为 ，即
．
因为圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上的点到直线 的最大距离为 ，故
D正确．故选：BCD．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．等差数列 中， ，记 ，则当 时， 取得最大值．
【答案】4
【详解】在等差数列 中， ，
，
即 ，
．
所以数列 是单调递减数列，
所以 ，
所以当 时， ；当 时， ，
故当 时， 取得最大值．故答案为：4
13．在函数 的图象与直线 的交点中，任取两点与原点 组成三角形，这
些三角形的面积的最小值为 ，则 ．
【答案】
【详解】原点 到直线 的距离为 ，设交点 ， ，且 ，
由 ，即 ，
点 ， 相邻，且在 的一条对称轴两侧时， ，
此时 ， ， ，两式相减，得 ，
所以 ．
故答案为：
14．已知函数 ，若关于 的不等式 在 上
恒成立，则实数 的最大值为 ．
【答案】 /
【详解】设 ，则其定义域为 ，且
，故 为奇函数.
而 ，且仅在 时 ，所以 为增函数.
同时，不等式 可化为 ，即
.
而 是奇函数，故原不等式又等价于 ，再根据 是增函数，知这等价于 .
当x>0时，这可化为 ，故条件即为 对任意x∈(0,+∞)成立.
①一方面，在条件中取x=1，即可得到 ，从而一定有 ；
②另一方面，当 时，我们证明对任意的 ，都有 .
首先，代入 ，然后两边同乘正数 ，可知该不等式等价于 .
设 ，则 ，故对 有 ，对 有 .
从而 在 上递减，在 上递增，所以对 均有 .
这就意味着 ，所以
.
从而由 即可得到 .
这就证明了不等式 对 恒成立，从而原条件一定满足.
综合①②两方面，可知 的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．在 中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， .
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，在 边AC的外侧取一点D（点D在 外部），使得 ， ，且四边形
的面积为 ，求 的大小.【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得 ，由余弦定理求得 ，得到 ，
再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，进而求得面积的最大值；
（2）设 ，利用余弦定理和 为正三角形，求得 ，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由
因为 ，可得 ，
又由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 面积的最大值为 .
（2）设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
由（1）知， 且 ，所以 为正三角形，
所以 ，
可得 ，故 ，因为 ，所以 ，可得 .
16．某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩 ，现规定：成绩在 的同学
为“成绩顶尖”，在 的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.
(1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整
处理）；
(2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学
习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：
(3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成
绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.
（参考数据：若 ，则 ，
）
【答案】(1)“成绩优秀”和“不及格”的同学人数分别为 人、 人
(2)
(3)班级成绩优于年级成绩
【分析】（1）根据题设中已知区间上的概率可求 及 ，故可求成绩优秀的人数
和不及格人数；
（2）根据条件概率的概率公式可求同学丙入选的概率：
（3）根据小概率几乎不发生可判断该班成绩由于年级成绩.
【详解】（1）由已知 ，
“成绩优秀”的概率为：.
“不及格”的概率为：
，
所以“成绩优秀”的人数为 人，
“不及格”的人数为 人.
（2）设事件 ：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件 ：丙入选，
则 ，
（3）由条件知年级中 ，
而在该班随机抽查中，同学成绩 在一次随机事件中就发生了，
这说明班级成绩优于年级成绩.
17．如图，在三棱锥 中， 为正三角形， 平面 ，点 为线段BC上的
动点，
(1)若点 为BC中点，证明：
(2)在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值
(3)求线段长 的最小值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证法1：由等腰三角形的性质得 ，由线面垂直的性质得 ，则得 平面，再证得 平面 ，再利用线面垂直的性质可证得结论；证法2：在 中求出 ，在
中求出 ，从而可求出 ，再在 中求出 ，最后在 中利用勾股定理的逆定理
可证得结论；
（2）以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为 轴， 轴的正半轴，然后利用空间向
量求解即可；
（3）法1：以 的中点 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中 为 轴， 轴的正半轴，
设 ，由 表示出 ，从而可表示出 ，进而可求出
其最小值；法2：设BC的中点为 ，取PA中点 ，过点 作平面PBC垂线，垂足为 ，可得
点轨迹为在平面PBC中的以 为圆心， 为半径的圆弧，从而可求得结果.
【详解】（1）法1：因为 为正三角形，点 为BC中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
法2：因为 为正三角形，点 为BC中点， ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，因为 为正三角形，点 为BC中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
则以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为 轴， 轴的正半轴，
则
，
设平面PAC的法向量为 ，则
，令 ，则法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，
设平面PAC与平面ACF夹角为 ，
则 ，
即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为 ；（3）法1：以 的中点 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中 为 轴， 轴的正半轴，
则 ，
设
，
，
令
则 ，
在 上单调递减， 上单调递增
当 时， ，法2：设BC的中点为 ，取PA中点 ，过点 作平面PBC垂线，垂足为 ，
且 平面 ，
点的轨迹为以PA为直径，即 的球与平面PBC的相交圆弧，
由（1）可知， ，相交圆半径 ，
点轨迹为在平面PBC中的以 为圆心， 为半径的圆弧，
，
【点睛】关键点点睛：此题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，解题的关键是根据题意合理建立空
间直角坐标系，利用空间向量求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
18．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左、右焦点， 的离心率为 ，点 是 上
一点， 的最小值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 是椭圆 的左、右顶点，不与 轴平行或重合的直线 交椭圆 于 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 .
①证明：直线 过定点；
②设 的面积为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；② .
【分析】（1）应用离心率公式及焦点到椭圆距离的最值列方程组求解 ，即可求出椭圆方程；
（2）①设直线方程联立方程组得出韦达定理再应用斜率公式得出 ，再结合韦达定理计算求出
即可得出定点；②先表示面积 计算化简结合对勾函数得出最值.
【详解】（1）由题可知， ， 解得 ，
，
椭圆 的方程为 .
（2）①证明：设直线 的方程为 ， ，
由 得 ，
，即 ，
，
在椭圆 上 ，，即 ，
，
，即 ，
在直线 上，
，
，
，即 ，
此时 ，
直线 的方程为 ，即直线 过定点 .
②解：记直线 过定点 ，
，
，，
，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
当 时， 有最大值 .
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造对勾函数形式应用函数的单调性得出函数的最值进而求出面积
的最大值.
19．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图， 是函数 的
零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近 的实数 ，在横坐标为 的点处作
的切线，则 在 处的切线与 轴交点的横坐标是 ，同理 在 处的切线与 轴交点
的横坐标是 ，一直继续下去，得到数列 .令 .
(1)当 时，用牛顿法求出方程 的近似解 ；(2)在（1）的条件下，当 时，写出 与 的关系式（无需证明），并求数列 的通项公
式；
(3)令 ，已知 是两个正实数，且 ，求证： .
【答案】(1)
(2) ；
(3)证明见解析
【分析】（1）本题根据题干给出的牛顿法解高次方程，结合曲线上某点的导数即为经过该点的切线的斜
率，从而求得切线方程，再求出该切线与横轴的交点，采用逐步逼近的方法求得高次方程的近似解；
（2）根据（1）的条件逐步求得 ，从而递推出 与 的关系式，进一步求出数列 的通项公
式；
（3）先求出 ，然后判断 的单调性，最后得到 ，然后不妨设函数
， ，判断其单调性，然后得到 ，得到 ，利用
以及 的单调性，得到 ，最后化简，证毕.
【详解】（1）由题意得 ，因为 ，所以 ， ，
所以过点 的切线方程为 ，即 ，令 ，得 ；
又因为 ， ，
所以过点 的切线方程为 ，令 ，得 .综上得， ， .
（2）在（1）的条件下， ；
因为 ， ，
则 在点 处的切线方程为 ，
令 ，得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
所以 .
（3）由题可知 ， ，得
显然当 时， ，此时， 单调递减；
当 时， ，此时， 单调递増；
又因为 是两个正实数，且 ，
不妨设 ，设函数 ， ，故 ，
显然 时 ，此时 单调递增，
所以 ，即 ，有 ，
又因为 ，所以有 ，
因为 ，所以 ，
因为当 时， ，此时， 单调递増，
所以 ，
又因为 是两个正实数，故 .
【点睛】关键点点睛：新概念题，前两位根据新概念计算即可；第三问属于极值点偏移，利用极值点偏移
的方式，证明不等关系即可
