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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．记等差数列 的前n项和为 .若 ， ，则 （ ）
A．49 B．63 C．70 D．126
5．已知 ，那么下列命题中正确的是（ ）.
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则
6．已知抛物线 的焦点为F，点P为C上一点.若 ，则点 P的横坐标为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．函数 ，其中 ， ， ，它的图象如图所示，则 的解
析式为（ ）．A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
8．“ ”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直
角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中 ，若 ，平面
将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ）
A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4
10．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列 满足
， .给出下列四个结论：①存在 ，使得 ， ， 成等差数列；
②存在 ，使得 ， ， 成等比数列；
③存在常数 ，使得对任意 ，都有 ， ， 成等差数列；
④存在正整数 ， ， ， ，且 ，使得 .
其中所有正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在 的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
12．已知双曲线 ．则 的离心率是 ；若 的一条渐近线与圆 交于
， 两点，则 ．
13．已知正方形 的边长为1，点 满足 ，则 的最大值为 ．
14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回
答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A
的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查
者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸
到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都
不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为
．
15．已知函数 ，给出下列四个结论：①当 时， 恰有2个零点；
②存在正数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有2个零点；
④对任意 只有一个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
在 中， ， .
(1)求A的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，求
的面积.条件①：AC边上的高 ；条件②： ；条件③： .
17．（14分）
如图，在直三棱柱 中， 为直角，侧面 为正方形， ， 分别为
， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．18．（13分）
近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在 ， ， ， ， ， 这6个
国产新能源品牌或在 ， ， ， 这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车
多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新
能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具
体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表：
充电价格（元/千瓦 充电服务费（元/千瓦
充电时间段
时） 时）
峰
10：00-15：00和18：00-21：00 1.0
时
平 7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：
0.7 0.8
时 00
谷
当日23：00-次日7：00 0.4
时
(1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌 被选中的概率；
(2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选
择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的
分布列和数学期望；
(3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用.
(4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计
算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.
19．（15分）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
20．（15分）
设椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点 ， ．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若 的面积是 面积
的 倍，求直线 的方程．
21．（15分）
设自然数 ，由 个不同正整数 构成集合 ，若集合 的每一个非空子集
所含元素的和构成新的集合 ，记 为集合 元素的个数
(1)已知集合 ，集合 ，分别求解 ．
(2)对于集合 ，若 取得最大值，则称该集合 为“极异集合”
①求 的最大值（无需证明）．
②已知集合 是极异集合，记 求证：数列 的前 项和 ．
