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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，所以 ,
因为 ，所以 ,
所以 .
故选：D.
2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】∵ ，
∴该复数在复平面内对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于ACD， 、 、 是非奇非偶函数，故排除ACD，
对于B， 是奇函数且是定义域上的增函数，故B对；故选：B.
4．记等差数列 的前n项和为 .若 ， ，则 （ ）
A．49 B．63 C．70 D．126
【答案】B
【详解】因 是等差数列，故 ，于是
故选：B
5．已知 ，那么下列命题中正确的是（ ）.
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【详解】 ．若 ，当 时， ，所以选项 不成立；
．若 ，当 时，则 ，所以选项 不成立；
．因为 ，将 两边同除以 ，则 ，所以选项 成立；
．如果 满足 ，但是 ，所以选项 不成立．
故选： ．
6．已知抛物线 的焦点为F，点P为C上一点.若 ，则点 P的横坐标为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】由题意知， ，
由抛物线的定义知， ，得 ，
即点P的横坐标为7.
故选：C
7．函数 ，其中 ， ， ，它的图象如图所示，则 的解析式为（ ）．
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】A
【详解】点 与 代入 中， ，
∴ ， ，
故选：A．
8．“ ”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若“直线 与圆 相交”，
则可得 ，解得 ，
又
故“ ”是“直线 与圆 相交”的必要不充分条件.
故选： .
9．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中 ，若 ，平面
将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ）
A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4
【答案】B
【详解】由题意 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：B．
10．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列 满足
， .给出下列四个结论：
①存在 ，使得 ， ， 成等差数列；
②存在 ，使得 ， ， 成等比数列；
③存在常数 ，使得对任意 ，都有 ， ， 成等差数列；
④存在正整数 ， ， ， ，且 ，使得 .
其中所有正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【详解】对于①，由题意得 ，有 ，
故 成等差数列，故①正确；
对于②，由 ，则 为偶数，则 、 为奇数， 为偶数，
则 、 为奇数， ，故 ， ， 中有两个奇数，一个偶数，
不可能成等比数列，故②错误；
对于③， ，
故当 时，对任意 ， ， ， 成等差数列，故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为：
，
可得 ，故④正确，
故选：C.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在 的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
【答案】
【详解】由 的展开式的通项为 ，
令 ， ，则 ，
即在 的展开式中，常数项为 ，
故答案为： .12．已知双曲线 ．则 的离心率是 ；若 的一条渐近线与圆 交于
， 两点，则 ．
【答案】
【详解】由双曲线 ，可得 ，则 ，
所以双曲线 的离心率为 ；
又由双曲线 的其中一条渐近线方程为 ，即 ，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到渐近线的距离为 ，
由圆的弦长公式，可得 .
故答案为： ； .
13．已知正方形 的边长为1，点 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【详解】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，
因为 ，
所以 ，所以当 时， 取得最大值 .
故答案为： .
14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回
答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A
的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查
者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸
到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都
不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为
．
【答案】5%
【详解】根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为 ；其阳历生日日期是偶数的概率也是 ，
所以随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有 人，
所以200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有 人；
所以抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为 人，
由此估计此中学学生有A习惯人数的百分比为 ．
故答案为：5%.
15．已知函数 ，给出下列四个结论：
①当 时， 恰有2个零点；②存在正数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有2个零点；
④对任意 只有一个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②④
【详解】令 ，得 ，
函数 的零点个数，即为方程 的根的个数，
方程 根的个数，即为 与函数 的交点个数，
又函数 是过定点 的直线，
作出 的图象如图所示，
当 直线 与函数 有一个交点，
故 有一个零点，故①错误；
当 在第一象限与函数 相切时，
函数 有一个零点，故②正确；
函数 绕着 顺时针从 转到 时，两图象只有一个交点，
故 时，函数 只有一个零点，故③错误，④正确.
故答案为：②④.三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．在 中， ， .
(1)求A的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，求
的面积.条件①：AC边上的高 ；条件②： ；条件③： .
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
而 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）若选①， 边上的高 ，在 中， ，
即 ，
在 中，由余弦定理 ，得 ，
整理得 ，而 ，解得 ，
的三边已知，由三角形全等的判定知， 存在且唯一，
所以 的面积为 ；
若选②， ，则 ，
在 中， ，
由正弦定理 ，得 ，
根据三角形中大角对大边可知， 不存在；若选③， ，由余弦定理 ，得 ，
则 ，显然 ，即方程无解，
因此 不存在，③不可选.
17．如图，在直三棱柱 中， 为直角，侧面 为正方形， ， 分
别为 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】（1）连接 ，
在 中，因为 分别为 ， 的中点，所以
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为直三棱柱 中， 为侧棱，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，
又 为直角，
所以
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
由（1） ，所以 .
（3）建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ． ，
因此 ， ．
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
，即
令 ，则 ，于是 ，设直线 与平面 所成角为 ．
所以 ．
18．近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在 ， ， ， ， ， 这
6个国产新能源品牌或在 ， ， ， 这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃
油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购
买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，
具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表：
充电价格（元/千瓦 充电服务费（元/千瓦
充电时间段
时） 时）
峰
10：00-15：00和18：00-21：00 1.0
时
平 7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：
0.7 0.8
时 00
谷
当日23：00-次日7：00 0.4
时
(1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌 被选中的概率；
(2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选
择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的
分布列和数学期望；
(3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用.
(4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计
算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.
【详解】（1）记事件 品牌 被选中，则 .
（2）由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时，
在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时，
在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时，可能的取值有 ，则
分布列如下：
54 45 36
所以 元.
（3）充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为 ，
充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为 ，
充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为 ，
所以充电1千瓦时的平均费用为 元.
（4）若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为 元，
若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为 元，
结合购车成本有 ，所以新能源汽车花费更少.
19．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
【详解】（1）定义域为 ，
，
设
恒成立
所以 在 上是减函数，且则当 时， ，即 ，
则当 时， ，即 ，
所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间
（2）由（1）知 ，所以 ，
令 ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上的最小值为 ，
所以若关于 的不等式 有解，则 ，
即 .
20．设椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点 ， ．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若 的面积是 面积
的 倍，求直线 的方程．
【详解】（1）由题意可知， 解得
，
则椭圆方程为 ，椭圆的离心率为 .（2）由题意可知，直线 的斜率存在且不为0， ，设直线方程为 ，
取 ，得 ，
联立 得 ， ，
，得 ，则 ．
，
.
因为 的面积是 面积的 倍，
，即 ，得 ，
直线 的方程为 ．
21．设自然数 ，由 个不同正整数 构成集合 ，若集合 的每一个非空
子集所含元素的和构成新的集合 ，记 为集合 元素的个数
(1)已知集合 ，集合 ，分别求解 ．(2)对于集合 ，若 取得最大值，则称该集合 为“极异集合”
①求 的最大值（无需证明）．
②已知集合 是极异集合，记 求证：数列 的前 项和 ．
【详解】（1）已知集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即 ．
集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即
（2）①集合 共有 个非空子集， 的最大值为
② ，
即证
不妨设 ，即 的非空子集中元素和最小的子集的为 ，最大的为
集合 是极异集合， ，代表有 个不同的正整数，
即 ，
所以 中有 个元素，由元素互异性可得又 ，即可得 ，
因此数列 的前 项和 .
