文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B C A B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
9 10 11
ABD ACD BCD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2 13. 288 14.-1590
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；
（2）由余弦定理得到 的关系式 ，利用基本不等式求得 ，
即得周长的最大值.
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，
得 即 ，
则 ，
整理得 ，而 ，即 .（6分）（2）在 中， ，
由余弦定理得 ，即 ，
于是 ，
解得 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 周长取得最大值 .（13分）
16．（15分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；
（2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函
数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数.
【详解】（1）若 ，则 .
又 ,切点为 ，
曲线 在 处的斜率 ，
故所求切线方程为 即 .（5分）
（2）由题 ．
1°当 时， 在 上单调递减，又 .
故 存在一个零点，此时 零点个数为1. （7分）
2°当 时，令 得 ，令 得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 的最小值为 .（9分）
当 时， 的最小值为0，此时 有一个零点.
当 时， 的最小值大于0，此时 没有零点．
当 时， 的最小值小于0， ，
时， ，此时 有两个零点. （14分）
综上，当 或 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点；
当 时， 没有零点. （15分）
17．（15分）
【答案】(1)存在， (2) ．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设 .结合 ，得 ，利用
，计算得出结果；
（2）利用空间向量法计算平面 与平面 所成角的余弦值；
【详解】（1）存在点 ，且当 时， .
由题意，知 两两垂直，所以以点O为原点，分别以 为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.因为
所以可求得所以 所以 .
因为点 在线段 上，所以可设 .因为 ，所以点 ，
所以 ，
假设存在点 ，使得 ，则 ，
所以 ，解得 ，即 所以 ，
所以存在点 ，且当 时， .（8分）
（2）由（1）得
所以 ， ， ， = .
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，则 是平面 的一个法向量.
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，则 是平面 的一个法向量.
设平面 与平面 所成的角为 ，
则 = ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．（15分）
18．（17分）【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用 及点 在双曲线上，可构造方程求得 ，从而得到双曲线方程；
（2）验证可知直线 斜率均存在，由斜率与倾斜角关系可得 ，将直线 方程与双曲线
方程联立可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式，结合韦达定理可表示出 ，化简整
理得到 或 ，验证可知 满足题意，由直线过定点的求法可求得结果.
【详解】（1）由题意知： ， ，
， ，
又 在双曲线 上，
，解得： ；
双曲线 的方程为： .（5分）
（2）当直线 中的一条斜率不存在时，不妨设直线 斜率不存在，则 ， ，
，直线 ，即 ，
由 得： ，解得： ，
即直线 与双曲线 相切于点 ，不合题意；
直线 斜率均存在，则 ， ，
，
，即 ，
；
设A(x ,y ),B(x ,y )，由 得：
1 1 2 2且 ， ， ，
， ，
由 得： ，
，
，
，
整理可得： ，即 ， 或 ，
当 时，直线 恒过点 ，不合题意；
当 时，满足 ，此时直线 恒过点 ；
综上所述：直线 过定点 . （17分）
19．（17分）
【答案】(1)（ⅰ）4，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）理解数列新定义，从而得解；
（2）对等差数列进行分类：即递减等差数列和递增等差数列，然后根据新定义推导新数列的元素及通项，
就可得以证明；
（3）利用反证法，结合数列的新定义即可得解.
【详解】（1）（ⅰ）根据题意：选 ，则有1，3，5，7，共有 项；
选 ，则有3，5，7，共有 项；
选 ，则有5，7，共有 项；选 ，则有7，共有 项；
所以数列B为：4，3，2，1；（5分）
（ⅱ）同理数列B为：2，3，2，1，1. （7分）
（2）设数列A的公差为d，因为 ，
当 时，数列A为单调递减数列，
所以 ，
所以B为等差数列.
当 时，数列A为单调递增数列，
以数列A的任意项 为首项选取长度最大的递增的单调子列为 ， ， ， ， .
所以 （ ，2，3， ，n）.
所以B为等差数列，
综上，当数列A为等差数列时，数列B也为等差数列. （13分）
（3）若 ， ， ， 中有一个 ，
那么数列A存在一个长为 的递增子列.
所以A存在一个长度为 的单调子列.
若数列A不存在长度超过t的递增子列，即 ， ，2，3， ， .
所以在 ， ， ， 中，至少有 个数是相等的.
取其中 项，不妨设为 ，其中 .
下面证明当 ，且 时， ，
假设 ，将 加到以 为首项长度为b的递增子列前面，
构成了以 为首项长度为 的递增子列，
与 为首项的最长递增子列的项数为b矛盾，假设不成立.所以 ，
由此可知 ，.
所以 ， ， ， ，构成了一个长为 的递减子列.
综上，A必存在一个长度为 的单调子列. （17分）
【点睛】思路点睛：本题主要考查“新定义”数列，主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、
新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，用反证法来请明
新结论，这样有助于对新定义的透彻理解.
