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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟（新课标I卷）
黄金卷 01·参考答案
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B B D D C B D B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD ABD ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2 13．1750 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】【小问1详解】
设点 坐标为 ，直线 与圆 相切于点 ，…………………1 分
则 ，所以 ，…………………3 分
即 ，…………………4 分
化简得 .………………… 5分【小问2详解】
设直线 方程为 ，点M(x ,y )，N(x ,y ).…………………6 分
1 1 2 2
联立方程 ，得 ，…………………7 分
所以 .………………… 8分
因为以 为直径得圆过点B(-2,0)，则 ，…………………9 分
即 ，
化简得 ，…………………10 分
代入根与系数关系中，得 ，………………… 11分
解得 或 ，…………………12 分
故直线 的方程为 或 .………………… 13分
16．（15分）
【答案】【小问1详解】
由正弦定理得 ，…………………1分
代入 得 ，…………………2 分所以 ，…………………3 分
因为 ，所以 …………………5 分
所以 ，所以 ， .…………………7分
【小问2详解】
选条件①： ………………… 8分
因为 ， ………………… 9分
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，…………………10 分
解得 ，所以 ． …………………11 分
由 解得 ， 解是唯一的.………………… 13分
所以 ， .………………… 15分
选择条件②：由 及余弦定理得 ，………………… 8分
即 ，解得 或 （负舍），………………… 11分
此时 有一解，所以 ，………………… 13分
所以 ， .………………… 15分选条件③：由 及余弦定理得 ，…………………8 分
所以 ，故 .………………… 11分
这与 矛盾，故不成立.………………… 13分
所以条件③不满足.…………………15 分
17．（15分）
【答案】【小问1详解】
设第二天获得的优惠券金额为 的可能取值为 ，第二天抽1张奖券的概率为 ，抽2张奖
券的概率为 ，…………………2 分
若抽2张奖券，优惠金额20元的概率为 ，优惠金额30元的概率为 ，………………… 3分
，…………………4 分
，………………… 5分
，………………… 6分
故第二天获得优惠金额的数学期望 .…………………8 分
【小问2详解】
记“第 天抽取1张奖券”的概率为 ，则“第 天抽取2张奖券”的概率为 ，………………… 9分
则“第 天抽取1张奖券”的概率为 ，………………… 11分，………………… 12分
设 ，则 ，………………… 13分
又 ，则 ，
所以数列 是公比为 的等比数列，………………… 14分
.…………………15 分
18．（17分）
【答案】【小问1详解】
∵M是 中点， ，………………… 2分
∴ ，…………………1 分
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，………………… 4分
∴ .………………… 6分
【小问2详解】
方法一：取 中点F，连接 ， ，作 ，垂足为G，连接 ， ，∵M，F分别为 ， 中点， ，
∴ ，又 ，
∴ ；………………… 7分
由（1）知： 平面 ， 平面 ，
∴ ；………………… 8分
∵ ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，………………… 8分
∵ 平面 ，∴ ，………………… 9分
又 ， ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∴直线 与平面 所成角为 ，………………… 10分
∴ ，
设 （ ），
∵ ， ，………………… 12分∴ ，
∴ ，又 ，………………… 13分
∴ ，解得： 或 ，…………………15 分
故 的长为 或 .………………… 17分
方法二：取 中点F，连接 ，
∵M，F分别为 ， 中点， ，………………… 7分
∴ ，又 ，
∴ ；………………… 8分
由（1）知： 平面 ，以F为坐标原点， ， 正方向为x，y轴正方向，
过F作z轴 ，可建立如图所示空间直角坐标系，…………………9 分
设 （ ），∵ ， ，………………… 10分
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ；…………………11 分
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ，…………………13 分
∴ ；………………… 14分
∴ ，…………………15 分
解得： 或 ，…………………16 分
故 的长为 或 .………………… 17分
19．（17分）
【答案】证明：（1）（i）令 ，则 ，…………………1 分
故 在 上为增函数，
故 ，即 ，当且仅当 时取等号；…………………3 分
故当 时， 成立.………………… 5分
（ii）令 ，则当 时， ，…………………6分
设 ，则 ，
令 ，
当 时， 故 在 上为增函数，………………… 7分
故当 时， ，
即： ，当且仅当 时取等号；………………… 8分
故 在 上为增函数，
故 ，即 ，当且仅当 时取等号；
故当 时， 成立.………………… 9分
（2）（i）当 时， ，
故 在点 处的切线方程为： …………………10分
（ii）
（A） 当 时， ，…………………11 分
故 ，
当且仅当 时取等号，故 在区间 上的零点个数只有1个；
（B）当 时， ，，
当且仅当 时取等号，故 在区间 上的零点个数只有1个；………………… 12分
（C）当 时， ，
，…………………13分
令 ，则 ，
当 时，由复合函数的单调性可得 在 上为增函数，
故 ，…………………14 分
当 时， ，
故 ，使得 ，则 ，
故 在 递减，在 递增，又 ，
故 ，则 ，使得 ，
则 ，…………………15 分
故 在 递减，在 递增，又 ，又 ，
故 ，使得 ，即此时 在区间 上有两个零点 和 ；
综合有：当 时， 在区间 上只有一个零点；………………… 16分
当时，在区间上有两个零点.………………… 17分
