文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B D B B D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
9 10 11
BD BC ABC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
6 27
12. 3 13. 14. ； .
5 50
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）根据已知以及余弦定理可得， ，
整理可得， ，
所以由余弦定理可得， .
又 ，所以 .
（2）由已知结合三角形面积公式可得， ，
所以， .
根据余弦定理可得， ，
所以， .设BC边上的高为 ，则 ，
即 ，解得 .
16．（15分）
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1） ， ，
所以 在 处的切线方程为： ，即 .
（2）因为 在 上有解，所以 在 上有解，
当 时， 在 上有解，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，故 ，
则当 时， ，即 ．
所以，当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，
综上可知，实数 的取值范围是 ．
17．（15分）
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 .
【分析】（1）由题设 ，根据线面垂直的判定得 平面 ，再由线面垂直的性质有
，并由勾股定理证 ，最后应用线面垂直的判定证结论；
（2）取棱 的中点 ，连接 ，构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余
弦值，结合已知列方程求参数 ，即可判断存在性.【详解】（1）
因为四边形 是菱形，所以 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .
（2）
取棱 的中点 ，连接 ，易证 两两垂直，
故以 为原点，分别以 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设 ，则 ，
故 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ．
平面 的一个法向量为 ,设面 与面 所成的锐二面角为 ，
则 ，整理得 ，解得 (舍去)．
故存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 ．
18．（17分）
【答案】(1)y2=4x
(11-3❑√13 )
(2)（i）证明见解析；（ii）A(0,0)或A ,❑√13-3
2
【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解；
（2）（i）由题意得到MA,MB的斜率互为相反数，构造方程即可求解；
（ii）写出AB直线方程，由点到线的距离公式求得高，代入三角形面积公式求解即可.
p 2
【详解】（1）因为|MF|=2，由抛物线的定义得t+ =2，又2pt=4，所以t= ，
2 p
2 p
因此 + =2，即p2-4 p+4=0，解得p=2，从而抛物线的方程为y2=4x.
p 2
（2）
（i）由（1）知点M的坐标为M(1,2)，因为∠AMB的角平分线与x轴垂直，
所以可知MA,MB的倾斜角互补，即MA,MB的斜率互为相反数，y -2 y -2 4
k = 1 = 1 =
MA x -1 y2 y +2，
1 1-1 1
4
4 4 4
同理k = ，则k +k = + =0，
MB y +2 MA MB y +2 y +2
2 1 2
y + y
化简得y + y =-4，则y = 1 2=-2，
1 2 N 2
所以点N在定直线y=-2上.
y - y y - y 4
k = 1 2= 1 2 = =-1
（ii） AB x -x y2 y2 y + y ，则直线AB:y- y =-(x-x )，
1 2 1- 2 1 2 1 1
4 4
y2
即x+ y- y - 1=0
1 4
| y2|
3- y - 1
线段AB的长度：|AB|=❑√2|y - y |，点M(1,2)到直线AB的距离 1 4 ，
1 2 d=
❑√2
| y2|
3- y - 1
可得△MAB的面积为 1 1 1 4 ，
S = ×|AB|×d= ×❑√2|y - y |×
△MAB 2 2 1 2 ❑√2
因为y + y =-4，且-2<y <2，化简得
1 2 1
1 |12-4 y - y2| 1
S = |2y +4| 1 1 = (y +2)[16-(y +2) 2]=6，
△MAB 2 1 4 4 1 1
令t= y +2∈(0,4)，则t3-16t+24=0，即(t-2)(t2+2t-12)=0.
1
解得t=2或t=-1±❑√13，
由t= y +2∈(0,4)知t=2或t=-1+❑√13，所以¿或¿
1
(11-3❑√13 )
所求点A的坐标为A(0,0)，或者A ,❑√13-3
2
19．（17分）
【答案】(1)不是“ 数列”，理由见解析；(2) ， ；(3)证明见解析
【解析】（1）根据“ 数列”的定义，则 ，故 ，因为 成立， 成立，
不成立，
所以1，3，5，10，152不是“ 数列”．
（2）由 是首项为2的“ 数列”，则 ， ，
由{b }是等比数列，设公比为 ，
n
由 ，则 ，
两式作差可得 ，
即 ，
由 是“ 数列”，则 ，对于 ， 恒成立，
所以 ，
即 对于 ， 恒成立，
则
解得， ， ，又由 ， ，
则 ，即 ，
故所求的 ，数列{b }的通项公式 ；
n
（3）证明：要证 ， 即证 ，
因数列 是“ 数列”，则 .
则要证 ，即证 .
又 ，对于 ， 恒成立，
因为 ， ，则 ，再结合 ， ， ，
反复利用 ，可得对于任意的 ， ， ，
则要证： ，即证 .
设函数 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时，f'(x)<0，则 在区间 单调递减，
因对于任意的 ， ， ，则 .
即 ， ，…， ，相加可得 ，即 ，故命题得证.
