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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ， ， 是非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知 ， ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
4．设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况
如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对
题目的方差为（ ）
A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.826．已知火箭在 时刻的速度为 （单位：千米/秒），质量为 （单位：千克），满足
（ 为常数）， 、 分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量
千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为 ，经过 秒后的速度 千米/秒，
此时火箭质量 千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（ ， ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
7．直线 过抛物线 ： 的焦点，且与 交于 两点，若使 的直线 恰有2条，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， .若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数 ， ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则C．若 ，则
D．若 ，则 的最大值为
10.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支相交于
， 两点，若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． 的离心率为 D．直线 的斜率为
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则将 的图象向左平移 个单位长度，能得到函数 的图象
B．若 ，则当 时， 的值域为
C．若 在区间 上恰有 个零点，则
D．若 在区间 上单调递增，则
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设 ，若 ，则 .
13．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布 ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，
为使这种产品的良品率达到 ，则需调整生产工艺，使得 至多为 ．(若 ，则)
14．若圆C： 关于直线 对称，由点P 向圆C作切线，切点为A，则
线段PA的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）为了有针对性地提高学生对音乐课程的积极性，某校需要了解学生爱好音乐是否
与性别有关，随机抽取100名该校学生进行问卷调查，得到如下列联表.
爱好音
不爱好音乐 总计
乐
男 16
女 26
总计 100
已知从这100名学生中任选1人，爱好音乐的学生被选中的概率为 .
(1)完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．(本小题满分15分）如图，圆台 的轴截面为等腰梯形 ， ， 为下底
面圆周上异于 、 的点．(1)点 为线段 的中点，证明：直线 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为3，求直线 与平面 夹角的正弦值．
17．(本小题满分15分）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.18．(本小题满分17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，且
，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 ， 是 上两点（点 ， 不同于点 ），直线 ， 分别交直线 于 ， 两点，
若 ，证明：直线 过定点．
19．(本小题满分17分）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的
数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传
输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设
p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n
且与n互素的正整数的个数，记为 .
(1)试求 ， 的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示 （ ），并探究 与 和 的关系；(3)设数列 的通项公式为 （ ），求该数列的前m项的和 .
