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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A D A C D B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD BC BD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(本小题满分13分）
【解】（1）如图，连接 ，取 中点为 ，连接 ， ，……………………1分
因为 ，所以 ，
因为 ， 为 ， 的中点，且 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ……………………3分
又因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ； ……………………5分
（2）因为 ，在 中， ，
所以 ，又 平面 ，故 平面 ，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ……………………7分
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
则 ，
令 ，解得 ，故 ， ……………………9分
，
令 ，解得 ， ，故 ， ……………………11分
设二面角 的平面角为 ，
则 ， ……………………12分
所以 ，所以二面角 的正弦值为 ． ……………………13分
16．(本小题满分15分）
【解】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，
“不能入篮”分别记为事件 ， ， ，
由题意知 ， ， ， ……………………13分
因为每次投篮为相互独立事件，
故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为 .……………5分
（2）两次投篮后得分 的可能取值为0，2，3，4，5，6,
由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，
表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0，
则 ； ……………………6分
表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮，
则 ； ……………………7分
表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，
则 ； ……………………8分
表示两次都是踩线及3分线内侧投入，
则 ； ……………………9分
表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入，
则 ； ……………………10分
表示两次都是3分线外侧投入，则 ， ……………………11分故 的分布列为
0 2 3 4 5 6
…………………13分
所以 ……………………15分
17．(本小题满分15分）
【解】（1）因为 ，所以 ， ……………………1分
再将点 代入 得 ， ……………………2分
解得 ， ……………………3分
故椭圆 的方程为 ； ……………………4分
（2）由题意可设 ，
由 可得 ，
易知 恒成立，所以 ， ……………………7分
又因为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，则 ，故 ， ……………………9分同理 ， ……………………10分
从而 ， ……………………12分
故 为定值……15分
18．(本小题满分17分）
【解】（1）因为 ，
所以 ， ……………………2分
所以直线 的方程为： ，即 ……………………4分
（2）令 ，
则 ， ……………………5分
令 ，则 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ……………………7分当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 等号成立，
所以除切点 之外，曲线 在直线 的下方． ……………………9分
（3）由 ，解得 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ……………………11分
当 时， ．
因为 ，则 ，不妨令 ．
因为曲线 在 点的切线方程为 ， ……………………12分
设点 在切线上，有 ，故 ，
由（1）知 时， ，
则 ，即 ，
要证： ，
只要证： ，只要证： ，
又 ，
只要证： ， ……………………15分
令 ，
则 ，
易证 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 成立，
所以原命题成立． ……………………17分
19．(本小题满分17分）
【解】（1）由题： ， ……………………1分
所以 ， ， 且 ， ……………………2分
从而 ， ， ，故 . ……………………3分
（2）若 ， ， ， ，使 ，
其中 ， ， ， ，
则 ，故 ， . ……………………5分
，
，…………………7分.…………9分
（3）设集合 ， ，
其中 ， .
则 ，
这里共 个不同元素，又 ，
所以上面为和集 中的所有元素. ……………………11分
又 ，
这里共 个不同元素，也为合集 中的所有元素，
所以有 ，即 . ……………………13分
一般地，由 ，
，
可得 ，即 .
同理可得 ，得证. ……………………17分
