文档文本内容
高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A C A A D B D A C
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．10 12．7 13． 14． 15．-1
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
【详解】（1）若选① ，
则 ，…………………1分
又因为 ，所以 ，即 ，…………………2分
所以 ，又因为 ，所以 ，…………………4分
所以 ，解得 ；…………………5分
若选② ，则 ，…………………2分
所以 ，即 矛盾，故选②不符合题意；…………………3分若选③ ，
则 ，…………………3分
又因为 ，所以 ，从而 ；…………………5分
综上所述，选②不符合题意，无论选①还是选③，都有 ；
（2）
， ，
所以 ，…………………6分
在 中，由正弦定理得， ，
，…………………8分
在 中， ，
，…………………10分
，整理得 ，…………………12分
.…………………13分
17．（13分）
【详解】（1）设各组的频率为 ，
由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…………………2分
因为后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为27，24，21，18，…………………4分
所以视力在 以下的频数为 人. …………………5分故全年级视力在 以下的人数约为 人. …………………7分
（2）由已知得，
，…………………12分
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. …………………13分
18．（14分）
【详解】（1）如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是棱 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，…………………1分
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，…………………2分
又由 是棱 的中点， 为 的中点，可得 ，…………………3分
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，…………………4分
又由 ，且 平面 ，所以平面 平面 ， …………………5分
又因为 平面 ，所以 平面 ．…………………6分
（2）取 的中点 ，连接 ，由 是等边三角形，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
所以 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如
图所示的空间直角坐标系， …………………8分
则 ， ， ， ，…………………9分
故 ， ， ．…………………10分
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，…………………11分
令 ，则 ，故 为平面 的一个法向量，…………………12分
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ， …………………13分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．…………………14分
19．（15分）
【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为 ，
且 ，即 ，…………………2分
所以 ，…………………3分
故椭圆方程为 ；…………………4分
（2）设圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 的坐标为 ，…………………5分
显然当 过圆心时 的值最大，
故要求 的最大值，只需要求 的最大值，…………………6分设点 ，则 ，①…………………7分
又因为点 在椭圆上，所以 ，即 ，②…………………8分
将②代入①整理得：
，…………………10分
因为点 在椭圆上运动，所以 ，…………………11分
故当 时， ，…………………12分
即 ，所以 ，…………………13分
把 代入②得 ，所点 的坐标为 .…………………15分
20．（15分）
【详解】（1）解：当 时， ，…………………2分
因为 ，…………………3分
所以，曲线 在 处的切线方程是 ，即 ．…………………5分（2）因为 ，都有 ，所以 ．…………………6分
设 ，则 ．…………………8分
记 ，设 ，则 ，…………………10分
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，…………………12分
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减．…………………13分
因为 ，当 时， ，当 时， ，…………………14分
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以， ．…………………15分
21．（15分）
【详解】（1）由性质③结合题意可知 ，矛盾，故前4项 的
数列，不可能是 数列. …………………2分
（2）性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；…………………3分
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .……………………………4分
又因为 或 ，
所以 或 .…………………5分
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，……………………………6分
下面用归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：……………………………7分
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾. ……………………………8分
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .…………………………………………………10分
（3）令 ，由性质③可知：
，…………………11分
由于 ，
因此数列 为 数列. ……………………………12分
由（2）可知:若 ；……………………………13分
， ，……………………………14分
因此，此时，，满足题意. ………………………………………15分
