文档文本内容
高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D D B A D A B A A
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 13．
14． 15．②③
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，………………………2分
所以 ， ，………………………3分
所以 ………………………5分
（2）因为角 的终边与角 的终边关于 轴对称，………………………7分
所以 ， ， ………………………10分
所以 .……………………………………………13分
17．（13分）
【详解】（1）取 中点为 ，连接 ，如下所示：……………………1分
在三角形 中， 分别为 的中点，故可得 // ， ；………………………2分
根据已知可得AD// ， ，故 // ，……………………………3分
则四边形 为平行四边形，故DE// ，…………………………………4分
又 面 面 ，故DE//面 .…………………………………6分
（2）作 于点 ，如下图所示：…………………………7分
则 ．………………………8分
在△ 中， ， ，则 ， ，………………………………9分
由 平面 知，直线 与平面 所成角为 ，故 ，即在△ 中，有 ，则 ，…………………………………11分
所以，四棱锥 的体积 ．……………………13分
18．（14分）
【详解】（1）某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，
样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为 ，获得优秀的女生人数为 ，………………………2分
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为 ；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为 ．………………………………………4分
（2）由题设， 的所有可能取值为 ，……………………………5分
则 ；…………6分
；…………8分
；…………10分
．…………11分
则 的分布列为：…………………………………………………12分
0 1 2 3
则 的数学期望 .…………………………………………14分
19．（15分）
【详解】（1）当 时， ，则 ， ，…………………2分
∴ ，∴切线方程为 ，即 .…………………4分（2）由题意得， ，即 ，
亦即 ,…………………6分
设 ，易得 恒成立.
∴ 在 上单调递增; …………………8分
易知：①当 时， ， 恒成立,此时 恒成立；…………………10
分
②当 时， 等价于 ，
由①②知 恒成立，则 恒成立
设 ，则 .…………………12分
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，…………………14分
∴ ，∴ ，即 的取值范围是 .…………………15分
20．（15分）
【详解】（1）由题意可得 ， ，
所以 ，……………………………………3分
所以椭圆C的标准方程为 .……………………………………4分
（2）假设存在x轴上的定点 ，使得 .
则结合图可得 ，所以 .……………………………………5分
由题意，直线 的斜率一定存在，设直线 的方程为 ，
设 ， ，……………………………………6分
由 得， ， ……………………………………7分
，则 ，……………………………………8分
且 .……………………………………9分
因为直线ET的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由 得 .……………………………………10分
因为 ， ，
所以 ，
即 ，…………………………………12分
所以 ，……………………………………13分
所以 ，则 ，所以在x轴上存在一个定点 ，使得 ．……………………………………15分
21．（15分）
【详解】（1）由“创新集”的定义得： ，
令 ，得 ，则 ；
所以 为二元“创新集”. ……………………………………2分
（2）若 ，且 是二元“创新集”，
不妨设 ，
则由韦达定理知 ， 是一元二次方程 的两个根，
由 ，可得 或 ，……………………………………4分
所以 或 .……………………………………5分
（3）若 是正整数，不妨设 中 ，
由 ，所以 ，……………………………………6分
当 时， ，所以 ，
所以 ，显然 无解，
所以 时，不存在“创新集” .……………………………………8分
当 时， ，故只能 ，求得 ，
所以 .……………………………………10分
当 时，由 ，
则有 成立，……………………………………11分
但对 时， 恒成立，
所以 对 恒成立，……………………………………12分
所以 对 不成立，
所以 时不存在“创新集” .……………………………………14分
综上所述：“创新集”只有.……………………………………15分
