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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷02·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B C D A C C A C A
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11． 12． 13． 14. 23 15.①④
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又因为 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，则 ，所以 .----------------------------6分
（2）对于①： 边上的中线长为 ，
在 ，由余弦定理得
即 ，解得 ，
则 ，所以 的面积为 ；----------------------------13分
对于②：因为 ，解得 ，
则 ，
所以 的面积为 ；----------------------------13分
对于③：若 ，这与 相矛盾，不合题意；----------------------------13分
17．（14分）
【详解】（1）如图，设 与 交于点 ，连接 .
因为 分别为 的中点，底面 是菱形，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .----------------------------6分
（2）连接 ，因为 是边长为 的等边三角形， 为 的中点，
所以 .
因为底面 是菱形且 ，易知 为等边三角形，所以 .
易知 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .----------------------------8分
所以 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 ，
所以 ，----------------------------10分设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
取 ，则 ，所以 .----------------------------12分
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
则 ，取 ，则 ，所以 .----------------------------14分
所以 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .----------------------------14分
18．（13分）
【详解】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有 人，
则 ，得 ，
又 ，得 ．----------------------------3分
（2）由（Ⅰ）知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人，实践成绩也为优异的概率为 ，
所以从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优异的概率为
．----------------------------6分（3）由题意， ，
设理论成绩为X，，则X取值为 ，
对应的人数分别为 ，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
，----------------------------9分
所以参赛学生理论成绩的方差为
因为 ，所以当 时，方差最小.----------------------------13分
19．（15分）
【详解】（1）由题意可知， 解得
，
则椭圆方程为 ，椭圆的离心率为 .----------------------------4分
（2）由题意可知，直线 的斜率存在且不为0， ，设直线方程为 ，
取 ，得 ，
联立 得 ， ，，得 ，则 ．----------------------------8分
，
.----------------------------12分
因为 的面积是 面积的 倍，
，即 ，得 ，
直线 的方程为 ．----------------------------15分
20．（15分）
【详解】（1）由题 ，在 处， ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 .----------------------------3分
（2）解法一：由（1）可得 ，
因为 ，故f'(x)与 同号．
令 ，因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，----------------------------5分
因为 ，所以 是 的唯一零点，
所以 是 的唯一解，----------------------------6分
f'(x)与 的情况如下：f'(x) － 0 ＋
极小值
所以 的单调递增区间是 ，递减区间是 .----------------------------8分
解法二：当 时， ， ，所以f'(x)<0，故 单调递减；
当 时， ， ，所以f'(x)>0，故 单调递增，
所以 的单调递增区间是 ，递减区间是 .----------------------------8分
（3） 且 时 ，又由（2）知函数 在 上单调递增，
若 对于 恒成立，则 ，两边取对数 得 ，
所以 对于 恒成立，----------------------------12分
设 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 的最小值为 .----------------------------15分
21．（15分）
【详解】（1）已知集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即 ．
集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即 ----------------------------6分（2）①集合 共有 个非空子集， 的最大值为 ----------------7分
② ，
即证 ----------------------------10分
不妨设 ，即 的非空子集中元素和最小的子集的为 ，最大的为
集合 是极异集合， ，代表有 个不同的正整数，
即 ，----------------------------13分
所以 中有 个元素，由元素互异性可得
又 ，即可得 ，
因此数列 的前 项和 .----------------------------15分
