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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合 ， ，
则 ．故选：B．
2．设 ， ， 是非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 ，则 ， ；
若 ，则 ， 即 .
“ ”是“ ”的必要而不充分条件；故选：B.3．已知 ， ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 .故选：D
4．设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，所以 ．故选：C.
5．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况
如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对
题目的方差为（ ）
A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82
【答案】D
【解析】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取 人，
从乙队中抽取 人，
这 人答对题目的平均数为 ，
所以这 人答对题目的方差为 .
故选：D.
6．已知火箭在 时刻的速度为 （单位：千米/秒），质量为 （单位：千克），满足（ 为常数）， 、 分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量
千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为 ，经过 秒后的速度 千米/秒，
此时火箭质量 千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（ ， ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题意知，火箭在 时刻的速度为 ，质量为 ，满足 ，
因为经过 秒后的速度 千米/秒，此时火箭质量 千克，
可得 ，火箭耗尽燃料时速度为 ，
两式相除得 .
故选：C．
7．直线 过抛物线 ： 的焦点，且与 交于 两点，若使 的直线 恰有2条，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由抛物线方程知：抛物线焦点为 ，通径长为 ，
当 垂直于 轴时， 两点坐标为 ，
此时 ，且 ，
即抛物线的焦点弦中，通径最短，
所以 .
故选：A．8．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， .若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】因为 ，所以 为奇函数；
又因为 ，所以 关于直线 对称；
由 知 的一个周期为 .
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
函数 的图象如图所示，
根据图象可知，若 ，则 ， ，
解得 ， ，
所以实数 的取值范围是 ， .
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数 ， ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为 ，所以 或 ，即 或 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，即 ，
则 或 ，所以 或 ，所以 ，故B正确；
对于C，设 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
则 ，整理得 .
所以 不一定为0，故C错误；
对于D，因为 ，所以复数 在复平面内所对应的点在圆 上，
复数 在复平面内所对应的点在圆 上，
因为两圆的圆心距为 ，所以 的最大值为 ，故D正确.
故选；ABD．
10.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支相交于， 两点，若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． 的离心率为 D．直线 的斜率为
【答案】ACD
【解析】如图，由 ，可设 ， .
因为 ，所以 .
设 ， ，则 ， ， ，解得 ，
则 ， ，
所以 ，故A选项正确； ，故B选项错误；
在 中，由 ，得 ，则 ，
从而 的离心率为 ，故C选项正确.
又 ，所以直线 的斜率为 ，故D选项正确.
故选：ACD.
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则将 的图象向左平移 个单位长度，能得到函数 的图象B．若 ，则当 时， 的值域为
C．若 在区间 上恰有 个零点，则
D．若 在区间 上单调递增，则
【答案】AD
【解析】
，
当 时， ，则将 的图象向左平移 个单位长度得到：
，故A正确；
当 时， ，当 时， ，
故 ，则 的值域为 ，故B错误；
令 ， ，则 ， ，
又 ，
若 在区间 上恰有 个零点，则 ，解得 ，故C错误；
若 在区间 上单调递增，则 ，又 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
由 可得 ，
要使 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，故D正确．
故选：AD．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设 ，若 ，则 .
【答案】11
【解析】令 ，则 ，则 ，
的通项为： ，
令 可得 ，令 可得 ，
所以由 可得 ，所以 .
13．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布 ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，
为使这种产品的良品率达到 ，则需调整生产工艺，使得 至多为 ．(若 ，则
)
【答案】 /0.5【解析】依题可知， ，再根据题意以及正态曲线的特征可知， 的解集 ，
由 可得， ，
所以 ，解得： ，故σ至多为 ．
14．若圆C： 关于直线 对称，由点P 向圆C作切线，切点为A，则
线段PA的最小值为 ．
【答案】
【解析】圆 化为 ，
圆的圆心坐标为 ，半径为 ．
圆 关于直线 对称，所以 在直线上，
∴ ，即 ，
点 与圆心的距离为 ，
所以点 向圆 所作切线长：
当且仅当 时切线长最小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）为了有针对性地提高学生对音乐课程的积极性，某校需要了解学生爱好音乐是否
与性别有关，随机抽取100名该校学生进行问卷调查，得到如下列联表.
爱好音
不爱好音乐 总计
乐
男 16
女 26
总计 100已知从这100名学生中任选1人，爱好音乐的学生被选中的概率为 .
(1)完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【解】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，则 ， ………………………2分
解得 . ………………………3分
列联表完成如下.
爱好音
不爱好音乐 总计
乐
男 16 34 50
女 24 26 50
总计 40 60 100
………………………6分
（2）由（1）可知 ， ………………………10分
因为 ， ………………………12分
故没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关. ………………………13分
16．(本小题满分15分）如图，圆台 的轴截面为等腰梯形 ， ， 为下底
面圆周上异于 、 的点．(1)点 为线段 的中点，证明：直线 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为3，求直线 与平面 夹角的正弦值．
【解】（1）取 中点 ，连接 ，
则有 ， ， ………………………2分
如图：
在等腰梯形 中， ，
所以 ， ，
则四边形 为平行四边形，所以 ， ………………………4分
又 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 ． ………………………5分
（2）过点 作 于 ，在等腰梯形 中， ，
所以梯形的高 ，所以等腰梯形 面积为 ，
所以 四棱锥的体积 ，解得 ，
在 中，由射影定理得 或 ， ………………………7分
当 时，以 为坐标原点，
以过点 平行与 的方向， 所在直线为 坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；则有 ， ………………………9分
故 ， ，
设平面 的法向量 ，故 ，
令 ，得 ， ………………………11分
设直线 与平面 夹角的大小为 ，
则 ，
所以直线 与平面 夹角的正弦值为 ； ………………………13分
当 时，以 为坐标原点，以过点 平行与 的方向， 所在直线为 坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；
则有 ，
故 ， ，设平面 的法向量 ，故 ，
令 ，得 ，
设直线 与平面 夹角的大小为 ，
则 ，
所以直线 与平面 夹角的正弦值为 ，
综上所述，直线 与平面 夹角的正弦值为 或 ． ………………………15分
17．(本小题满分15分）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【解】（1） ， . ………………………1分
当 时， 恒成立， 在 上单调递减； ………………………3分
当 时，由 ，
解得 ，即 在 上单调递增，
由 ，解得 ，即 在 上单调递减. ………………………6分
（2）当 时，由（1）知 ， ………………………8分， 恒成立， 在 上单调递增，
所以 ， ………………………10分
由题意知 ，即 . ………………………11分
设 ，则 ，所以 为增函数，……………………13分
又 ，所以 ，
即 的取值范围是 . ………………………15分
18．(本小题满分17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，且
，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 ， 是 上两点（点 ， 不同于点 ），直线 ， 分别交直线 于 ， 两点，
若 ，证明：直线 过定点．
【解】（1）设椭圆 的半焦距为 ，由题意得 ， ………………………3分
解得 ， ………………………5分
故椭圆 的标准方程为 . ………………………6分
（2）由（1）知 ，由题意可知直线 的斜率不为0，
否则 位于 轴同侧， ，不符合题意； ………………………7分
设 的方程为 ，代入 ，得
，
由 ，
设 ，则 ， ………………………9分
所以 ，
， ………………………10分
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
故 ，同理可得 ， ………………………12分
所以 ， ………………………13分
由 ，得 ，即 ，所以 ， ………………………15分
所以 ，解得 或 （舍去），
所以直线 的方程为 ，
故直线 过定点 . ………………………17分
19．(本小题满分17分）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的
数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传
输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设
p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n
且与n互素的正整数的个数，记为 .
(1)试求 ， 的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示 （ ），并探究 与 和 的关系；
(3)设数列 的通项公式为 （ ），求该数列的前m项的和 .
【解】（1）易得 ，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则 ，………………………1分
不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则 ，………………………2分
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，
则 ，所以 ， .………………………4分
（2）在不大于 的正整数中，只有p的倍数不与 互素，而p的倍数有 个，
因此 . ………………………6分
由p，q是两个不同的素数，得 ， ， ………………………7分在不超过 的正整数中，p的倍数有 个，q的倍数有 个，
于是 ，
所以 . ………………………10分
（3）根据（2）得 ， ………………………11分
所以 ， ………………………13分
， ………………………14分
两式相减，得 ， ………………………15分
所以 ，
故 . ………………………17分
