文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C D C D A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD ACD ABC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．16 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）
【解】（1）因为 ，
由正弦定理得 . ………………………1分
因为 ，所以 ，所以 ， ………………………2分
即 . ………………………4分
因为 ，所以 ，即 . ………………………5分
（2）设 ，因为 ，所以 . ………………………6分因为 ，所以 ， ， ，
在 中，由正弦定理可知 ， ………………………8分
即 ，
即 ， ………………………10分
化简可得 ，即 ， ,
所以 . ………………………13分
16．（本小题满分15分）
【解】（1）当 时，函数 ，
求导得 ，则 ，而 ， ………………………2分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 . ………………………4分
（2）函数 的定义域为 ，
求导得 ， ………………………5分
当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上递增，在 上递减，函数 只有极大值 ，不合题意； ………7分
当 时，由 ，得 或 ， ………………………8分
①若 ，即 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，则函数 在 上递增，在 上递减，
因此函数 的极大值为 ，极小值为 ，符合题意； ………………………10分
②若 ，即 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
则函数 在 上递增，在 上递减，
因此函数 的极大值为 ，极小值为 ，符合题意； ………………………12分
③若 ，即 ，由 在 上恒成立，得 在 上递增，
函数 无极值，不合题意， ………………………14分
所以 的取值范围为 . ………………………15分
17．（本小题满分15分）
【解】（1）因为点 为线段 的中点，且 ，
所以 ， ………………………1分
因为 ，且四边形 为正方形，故 ， ………………………2分
所以 ，而 平面 ，
故 平面 ， ………………………3分
又 平面 ，所以 ； ………………………4分
（2）设正方形 的中心为 ，分别取 的中点为 ，
设点 为线段 的中点，由（1）知 四点共面，且 平面 ，
连接 ， 平面 ，故 ，
又 平面 ，故平面 平面 ，
且平面 平面 ，
由题意可知四边形 为等腰梯形，故 ，平面 ，故 平面 ， ………………………5分
故以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角坐标系，
因为 ，则 ， ………………………6分
又 ，故 ，
设 到底面 的距离为 ，
四边形 ， 为两个全等的等腰梯形，且 ，
故 ，又 ，
故 ，则 ，
，
设 ， ………………………7分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ， ， ………………………9分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ， ， ………………………11分
故 ， ………………………12分令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
故当 时， ，当 时， ，
故 ，
即平面 和平面 的夹角的余弦值得取值范围为 ． ………………………15分
18．（本小题满分17分）
【解】（1）设事件 表示“该小组比赛胜利”，
则 ； ………………………4分
（2）由题意可知， 的所有可能取值为1，2，3，
则 ， ， ， ………………………7分
所以 的分布为：
………………………9分
所以 ； ………………………11分
（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
由（2）可知， ， ………………………12分
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，则 ， ………………………13分
则
， ………………………15分
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ， ………………………16分
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． ………………………17分
19．（本小题满分17分）
【解】（1） 的左焦点为 ，
过 的直线 与 交于 ，与 交于 ， ………………………2分
故 的左焦点为“ 型点”，且直线可以为 ； ………………………3分
（2）直线 与 有交点，则 ，
若方程组有解，则必须 ； ………………………5分
直线 与 有交点，则 ，
若方程组有解，则必须 ………………………7分
故直线 至多与曲线 和 中的一条有交点，即原点不是“ 型点” ………………………8分
（3）以 为边界的正方形区域记为 .
1）若点 在 的边界上，则该边所在直线与 相切，与 有公共部分，
即 边界上的点都是“ 型点”； ………………………9分2）设 是区域 内的点，即 ，
假设 是“ 型点”，
则存在过点 的直线 与 都有公共点. ………………………10分
ⅰ)若直线 与 有公共点，直线 的方程化为 ，假设 ，则
，
可知直线 在 之间，与 无公共点，这与“直线 与 有公共点”矛盾，
所以得到：与 有公共点的直线 的斜率 满足 . ………………………12分
ⅱ)假设 与 也有公共点，则方程组 有实数解.
从方程组得 ，
，由 ， …………14分
因为
所以， ， …………………………16
分即直线 与 没有公共点，与“直线 与 有公共点”矛盾，于是可知 不是“ 型点”.
证明完毕 …………………………17分
另解： …………………………9分
令 ，因为 ，所以| ，
即 .于是可知 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是 ， …………12分
因为 ，
所以 在区间 上为增函数，在 上为减函数. …………………………14分
因为 ， ，
所以对任意 ，都有 ， …………………………16分
即直线 与 没有公共点，与“直线 与 有公共点”矛盾，于是可知 不是“ 型点”.
证明完毕. ……………………………17分
