文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专
用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B B C B D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BC ABD ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．4 13．4 14．1
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）
【解】（1） ，
由正弦定理得： ， ………………………2分
整理得： ， ………………………3分
∵在 中， ，
∴ ，
即 ， ………………………4分
∴ ，
即 ； ………………………5分
（2）由余弦定理得： ， ………………………7分∴ ， ………………………8分
∵ ，
∴ ， ………………………10分
∴ ，
∴ ， ………………………12分
∴ 的周长为 . ………………………13分
16．(本小题满分15分）
【解】（1）由焦点为 得 ………………………1分
又离心率 ，得到 ， ………………………2分
所以 ， ………………………3分
所以椭圆C的方程为 . ………………………4分
（2）设
联立 ，消y得 ， ……………………5分
，得到 ，
由韦达定理得， ， ， ……………………7分
又因为 ， ………………………9分又原点到直线的距离为 ， ………………………10分
所以 ，………………13分
所以 ，所以 ，即 ，满足 ， ……………………14分
所以直线l的方程为 . ……………………15分
17．(本小题满分15分）
【解】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， …………………1分
∵ 是圆的直径，∴ ， ………………………2分
∵ ， 、 平面 ，
∴ 平面 ， ………………………4分
∵ 平面 ，∴平面 平面 ； ……………………5分
（2）法一：如图，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ………………………7分
， ………………………8分设平面 的法向量 ，
则有 ，令 ，得 ，………………………10分
设平面 的法向量 ，
则有 ，
令 ，得 ， ………………………12分
则 ， ，
二面角 的正弦值为 . ……………………15分
法二：作 于 ，作 于 ，连接 ， ……………………6分
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ， 、 平面 ，∴ 平面 ， ……………………7分
∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ， 、 平面 ，∴ 平面 ，………………………8分
∵ 平面 ，∴ ，
∴ 为二面角 的平面角， ………………………10分
， ………………………11分
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
， …………………13分
则 ，
二面角 的正弦值为 . ……………………15分
18．(本小题满分17分）
【解】（1）因为 ，
则 对任意 恒成立， ………………………1分
可知 在 内单调递减， ……………………2分
则 ， ………………………3分
所以当 时， . ……………………4分
（2）因为 ，
则 ， ………………………5分
令 ，
则 对任意 恒成立 ， ………………………6分
可知 在 内单调递增，
则 ， ………………………7分
当 ，即 时，则 对任意 恒成立，即 ，可知 在 内单调递增，无极值，不合题意； ………………………8分
当 ，即 时，则 在 内存在唯一零点 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增， ………………………10分
可知 存在极小值 ，符合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 . ………………………11分
（3）令 ，
则 ， ………………………12分
原题意等价于 对任意 恒成立，
且 ，则 ，解得 ， ………………………14分
若 ，因为 ，则 ，
则 ，
可知 在 内单调递增，则 ，即 符合题意； ……………16分
综上所述：实数 的取值范围为 . ……………………17分
19．(本小题满分17分）
【解】（1）由题意知，数列 为： . ……………………1分
由 ， 不是数列 中的项， ………………………3分
故数列 不是“乘法封闭数列”； ………………………4分（2）由题意数列递增可知 ，
则 ，且 ， ………………………5分
又数列 为“除法封闭数列”，
则 都是数列 中的项， ………………………7分
所以 ，即 ①；
且 ，即 ②，
联立①②解得， ； ………………………9分
（3）数列 是等比数列 ………………………10分
证明：当 时，设数列 为 ，
由题意数列 递增可知 ，
则有 ，
由数列 为“除法封闭数列”， ………………………12分
则 这 个数都是数列 中的项，
所以有 ，
则有 ， ③；同理由 ，可得 ，
则有 ，即 ④；
由③④可得， ，故 是等比数列. ………………………14分
当 时，由题意数列 递增可知 ，
则有 ， ………………………15分
由数列 为“除法封闭数列”，则这 个数都是数列 中的项.
所以有 .
所以有 ，即 ⑤；
同理由 ，可得 ，
所以 .
则 ，即 ⑥，
联立⑤⑥得， ，
则 ，所以有 ，
所以 ，故数列 是等比数列.综上所述，数列 是等比数列. ………………………17分
