文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷
黄金卷02·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C C B B B A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
9 10 11
BD ACD ABC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.9
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）求得 ，得到 ，且 ，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）求得 ，得到 在 上单调递增，结合 ，得到 即可得到
.
【详解】（1）解：因为函数 ，可得 ，
可得 ，且 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .........................6分（2）解：由 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
又由 ，所以 时， ，即 在 上恒成立，
所以 ，即 ..........................13分
16．（15分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式化简为 ，再弦化切得 ，再逆用和角正切
公式可得 ，进而可求解；
（2）利用正弦定理边化角得 ，令 ，则 ，转化为
求 取值范围，从而利用二次函数在区间的最值求法可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
，因为 ，所以 ，
所以 ，上式整理得 ，即 ，.........................3
分
所以 ，所以 .因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，解得 ..........................7分
（2）因为
，........................9分
所以令 ，因为 ，所以
所以 ，则 .则 ，
所以 ，.........................12分
令 ，因为 的对称轴为 ，且开口向上，所以 在区间 上单调递增，
所以 的取值范围为 ，
所以 的取值范围为 ..........................15分
【点睛】关键点睛：
第二问中求 的取值范围，利用 与 的关系，设 ，
从而 ，最终问题转化为求 的取值范围.
17．（15分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）题意先证明 平面 ，得到 ，根据线面垂直判定定理得证；
（2）作 ，垂直为Q，由（1）得 ，证得 平面 ，以B为原点， ， ，
的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得 和平面 的一个法向量
，根据 与平面 所成角正弦值为 ，解得参数的值；
【详解】（1）证明：由题意知 ， ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 .........................7分
（2）作 ，垂直为Q，由（1）知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面
故以B为原点， ， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ， ，
又 ，
所以 ，故 ， .........................13分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则
设 与平面 所成角为θ，
则 ，
解得 或 ，
由题意知 ，故 ..........................15分
18．（17分）
【答案】(1) (2)① ;②
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可；（2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k
的值；
②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为 ，通过这个等式转化为
的函数，即可求解取值范围.
【详解】（1）由双曲线. 的渐近线方程为 ，
再由椭圆 的右焦点分别为 到渐近线的距离为 可得：
，因为 ，所以解得 ，
再由椭圆的一个顶点为 ，可得 ，
所以由 ，
即椭圆C的标准方程为 ；.........................3分
（2）①直线 过椭圆右焦点F₂可得： ，即 ，
所以由直线 与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去 得：
，
设两交点A(x ,y ),B(x ,y )，则有
1 1 2 2
所以 ，
又椭圆左焦点F (-1,0)到直线 的距离为 ，
1
所以 ，
解得： 或 （舍去），即 ；.........................10分
②假设存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点 ， 且 ，可知直线方程为 ，
与椭圆 联立方程组，消去 得： ，由 ，且 ，解得 ，
设两交点A(x ,y ),B(x ,y )， 中点 ，则有
1 1 2 2
所以 ，
即 ，整理得 ，
又因为 ，所以 ，则 ..........................17分
【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以 为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再
利用求解中点坐标来表示 斜率，最后利用斜率乘积等于 ，从而得到关于 的函数来求取值范围.
19．（17分）
【答案】(1) 或 或 (2) (3)
【分析】（1）利用“ 数列”的定义，得到关于 的不等式组，列出所有满足条件 ， 即可得解；
（2）利用“ 数列”的定义，推得 ，进而得到 ，解得 ；再
取 ，推得 符合题意，由此得解；
（3）利用“ 数列”的定义，结合（2）中结论推得 ；再取特殊例子证得
成立，从而得解.
【详解】（1）依题意，因为数列1， ， ，7为“ 数列”，
则 ，注意到 ，故所有可能的 ， 为 或 或 ..........................3分
（2）一方面，注意到： ，
对任意的 ，令 ，
则 且 ，故 对任意的 恒成立（★），
当 时，注意到 ，
得 ，
此时 ，
即 ，解得 ，故 ；
另一方面，取 ，
则对任意的 ， ，故数列 为“ 数列”，
此时 ，即 符合题意.
综上， 的最大值为 ..........................10分
（3）当 时，
一方面：由（★）式， ，
则 ，
此时有
，
故 ，
另一方面，当 ， ， ， ， ， ， ， 时，
，
取 ，则 ， ， ，
且 ，
，此时 ，
综上， 的最小值为 ..........................17分
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.
归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
