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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟（新课标I卷）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2.若随机变量 ，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3.已知 ， ，是函数 的两个零点，且 的最小值为 ，
若将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 的不可能值为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
5.《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘
徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、
青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为 ，宽为内接正方形的边长D．
由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边 的中点，作直角三角形 的内接
正方形对角线 ，过点A作 于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由图1和图2面积相等得 B．由 可得
C．由 可得 D．由 可得
6.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得
棱台的体积为（ ）
A．18 B．21 C．54 D．63
7.已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则下列一定正确的是（
）
A． B．
C． 为奇函数 D． 为奇函数
8.设 ， , ，则下列大小关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．不存在实数 ，使得
C．若向量 ，则 或
D．若向量 在 向量上的投影向量为 ，则 的夹角为
10.已知函数 为奇函数，且 ，当 时， ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期为2 D．
11.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
为
A． 有极大值
B． 对于 恒成立，则实数 的取值范围是
C．当 时，过原点与曲线 相切的直线有2条
D．若关于 的方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为_______．
13.如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如
果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路
一共有________对. （用数字作答）14.设 ，记 为平行四边形 内部（不含边界）的整
点的个数，其中整点是指横､纵坐标都是整数的点，则函数 的值域为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知圆 ： 和点 ， 为圆 外一点，直线 与圆 相切于点 ，
.
（1）求点 的轨迹方程；
（2）记（1）中的点 的轨迹为 ，是否存在斜率为 的直线 ，使以 被曲线 截得得弦 为直径得
圆过点 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
16．（15分）在 中， .
（1）求 ；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确
定，求 及 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
17．（15分）随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券
共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖
券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额
更大的作为所得，否则正常抽取.（1）求第二天获得优惠金额的数学期望；
（2）记“第 天抽取1张奖券”的概率为 ，写出 与 的关系式并求出 .
18．（17分）如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ， ，平面
平面 ， ，点M是 的中点.
（1）证明： .
（2）点N是 的中点， ，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求
的长度.
19．（17分）（1）当 时，求证：
（i） ；
（ii）
（2）已知函数 .
（i）当 时，求 在点 处的切线方程；
（ii）讨论函数在上的零点个数.
