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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数m的值是（ ）
A． B．3 C． D．
3．已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
4．现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相
同”， 表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下 事件发生的概率即
（ ）
A． B． C． D．
5．已知点 在边长为2的正八边形 的边上，点 在边 上，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
6．若圆 与 轴， 轴均有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．7．已知函数 的导函数是f'(x)，如果函数 的图像如
图所示，那么 的值分别为（ ）
A．1，0 B． C． D．
8．如图，已知正方体 中，F为线段 的中点，E为线段 上的动点，则下列四个结论
正确的是（ ）
A．存在点E，使 平面
B．三棱锥 的体积随动点E变化而变化
C．直线 与 所成的角不可能等于
D．存在点E，使 平面
9．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司 分布在大公路两侧，有一
些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越
好，则这个中转站最好设在（ ）A．路口 B．路口 C．路口 D．路口
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知向量 ，若 ，则实数 .
12．经过点 且与圆 相切的直线方程为 ．
13．已知的数 （ ），若 的最小正周期为 ， 的图象向左平移 个单位
长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，则
；若 在区间 上有3个零点，则 的一个取值为 ．
14．设首项是1的数列 的前n项和为 ，且 ，则 ；若
，则正整数m的最大值是 .
15．已知函数 给出下列四个结论：
①存在实数 ，使得函数 的最小值为 ；
②存在实数 ，使得函数 的最小值为 ；
③存在实数 ，使得函数 恰有 个零点；
④存在实数 ，使得函数 恰有 个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）如图，在正方体 中， 为 的中点.
(1)过点 作出一条与平面 平行的直线，并说明理由；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.17．（14分）在 中，已知 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确
定，求 的面积．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的周长是 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（13分）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过
程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分
数据，整理如下表：
科普测试成绩x 科普过程性积分 人数
4 10
3 a
2 b
1 23
0 2
(1)当 时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，
估计X的数学期望 ；
(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为 .若根据表中信息能推断 恒成立，直接写出a的最小值.
19．（15分）已知O为坐标原点，椭圆 上一点D的横坐标为1，斜率存在的直线l交椭圆C
于A，B两点，且直线DA，DB的斜率之和等于1.
(1)求 ；
(2)若点D在第一象限，探究 的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.
20．（15分）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 的单调性；
(3)若对任意的 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
21．（15分）给定正整数 ，设数列 是 的一个排列，对 ， 表示以 为
首项的递增子列的最大长度， 表示以 为首项的递减子列的最大长度.
(1)若 ， ， ， ， ，求 和 ；
(2)求证： ， ；
(3)求 的最小值.
