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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B B D C D C A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD ACD AD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．11 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）
【解】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，则 ， ………………………2分
解得 . ………………………3分
列联表完成如下.
爱好音
不爱好音乐 总计
乐
男 16 34 50
女 24 26 50
总计 40 60 100………………………6分
（2）由（1）可知 ， ………………………10分
因为 ， ………………………12分
故没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关. ………………………13分
16．(本小题满分15分）
【解】（1）取 中点 ，连接 ，
则有 ， ， ………………………2分
如图：
在等腰梯形 中， ，
所以 ， ，
则四边形 为平行四边形，所以 ， ………………………4分
又 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 ． ………………………5分
（2）过点 作 于 ，在等腰梯形 中， ，
所以梯形的高 ，所以等腰梯形 面积为 ，
所以 四棱锥的体积 ，解得 ，
在 中，由射影定理得 或 ， ………………………7分
当 时，以 为坐标原点，以过点 平行与 的方向， 所在直线为 坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；
则有 ， ………………………9分
故 ， ，
设平面 的法向量 ，故 ，
令 ，得 ， ………………………11分
设直线 与平面 夹角的大小为 ，
则 ，
所以直线 与平面 夹角的正弦值为 ； ………………………13分
当 时，以 为坐标原点，以过点 平行与 的方向， 所在直线为 坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；
则有 ，故 ， ，
设平面 的法向量 ，故 ，
令 ，得 ，
设直线 与平面 夹角的大小为 ，
则 ，
所以直线 与平面 夹角的正弦值为 ，
综上所述，直线 与平面 夹角的正弦值为 或 ． ………………………15分
17．(本小题满分15分）
【解】（1） ， . ………………………1分
当 时， 恒成立， 在 上单调递减； ………………………3分
当 时，由 ，
解得 ，即 在 上单调递增，
由 ，解得 ，即 在 上单调递减. ………………………6分
（2）当 时，由（1）知 ， ………………………8分
， 恒成立， 在 上单调递增，
所以 ， ………………………10分由题意知 ，即 . ………………………11分
设 ，则 ，所以 为增函数，……………………13分
又 ，所以 ，
即 的取值范围是 . ………………………15分
18．(本小题满分17分）
【解】（1）设椭圆 的半焦距为 ，由题意得 ， ………………………3分
解得 ， ………………………5分
故椭圆 的标准方程为 . ………………………6分
（2）
由（1）知 ，由题意可知直线 的斜率不为0，
否则 位于 轴同侧， ，不符合题意； ………………………7分
设 的方程为 ，代入 ，得
，由 ，
设 ，则 ， ………………………9分
所以 ，
， ………………………10分
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
故 ，同理可得 ， ………………………12分
所以 ， ………………………13分
由 ，得 ，
即 ，所以 ， ………………………15分
所以 ，解得 或 （舍去），
所以直线 的方程为 ，
故直线 过定点 . ………………………17分
19．(本小题满分17分）
【解】（1）易得 ，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则 ，………………………1分不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则 ，………………………2分
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，
则 ，所以 ， .………………………4分
（2）在不大于 的正整数中，只有p的倍数不与 互素，而p的倍数有 个，
因此 . ………………………6分
由p，q是两个不同的素数，得 ， ， ………………………7分
在不超过 的正整数中，p的倍数有 个，q的倍数有 个，
于是 ，
所以 . ………………………10分
（3）根据（2）得 ， ………………………11分
所以 ， ………………………13分
， ………………………14分
两式相减，得 ， ………………………15分
所以 ，
故 . ………………………17分
