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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考I卷）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ，其中 为虚数单位.则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量 满足： ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 是等比数列，记数列{a }的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
n
A． B． C．1 D．3
5．已知圆 与双曲线 的一条渐近线交于 两点，且 ，则该双
曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知 ，且 ，则 （ ）A． B． C．1 D．
7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，
在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的
概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若存在三个不相等的实数 ， ， ，使 成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正三棱台 中， ， ，且等腰梯形所在的侧面与底面 所成夹角的正切值均
为2，则下列结论正确的有（ ）
A．正三棱台 的高为
B．正三棱台 的体积为
C． 与平面 所成角的正切值为1
D．正三棱台 外接球的表面积为
10．已知 是椭圆 ： （ ）位于第一象限上的一点， ， 是 的两个焦点，
，点 在 的平分线上， 的平分线与 轴交于点 ， 为原点， ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）A． 的面积为
B． 的离心率为
C．点 到 轴的距离为
D．
11．定义在R上的函数 满足 ， ， .若 ，
记函数 的最大值与最小值分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为 的一个周期 B．
C．若 ，则 D． 在 上单调递增
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中 的系数为 ．
13．已知函数 与函数 在公共点处的切线相同，则实数m的值为 ．
14．如图的“心形”曲线 恰好是半圆 ，半圆 ，曲线 组
合而成的，则曲线 所围成的“心形”区域的面积等于 ．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的离心率
为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点， ，求直线方程．
16．（15分）在六面体 中， 平面 ， ，且底面 为
菱形.
(1)证明： 平面 .
(2)若 ， ， .求平面A B C D 与平面 所成二面角的正弦值.
1 1 1 1
17．（15分）已知数列{a }满足， .
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
18．（17分）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从 腔室出发，到达 腔室，粒子从 室经过号门进入 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从 室经过 号门进入 室后，粒子的旋转状
态发生改变的概率为 .粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从 室出发.
(1)求两粒子进入 室都为上旋状态的概率；
(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入 室后，共裂变为 个粒子，裂变后的每个粒子再经过 号门
返回 室的概率为 ，各粒子返回 室相互独立.
① 时，写出返回 室的粒子个数 的分布列、期望、方差；
② 时，记有 个粒子返回 室的概率为 ，则 为何值时， 取最大值.
19．（17分）设 是定义域为 的函数，当 时， .
(1)已知 在区间 上严格减，且对任意 ，有 ，证明：函数
在区间 上是严格减函数；
(2)已知 ，且对任意 ，当 时，有 ，若当
时，函数 取得极值，求实数 的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：
