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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知复数 满足 ，若复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】运用复数除法化简，后根据纯虚数概念计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，因为复数z为纯虚数，所以
，所以 ，
故选：C.
2．下列结论错误的是（ ）
A． 是偶函数
B．若命题“ ”是假命题，则
C．设 ，则“ ，且 ”是“ ”的必要不充分条件
D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项 ；根据特称命题的的真假判断选项 ；根据必要不充分条
件的判断即可判断选项 ；根据等式的性质判断选项 .
【详解】对于 ，函数 的定义域为 ，且 ，所
以函数为偶函数，故选项 正确；
对于 ，若命题“ ， ”是假命题，则 恒成立，
所以 ，解得 ，故选项 正确；
对于 ，若 ，且 ，则 成立，反之不一定成立，例如： 满足 ，
但是 ，故“ ，且 ”是“ ”充分不必要条件，故选 错误；
对于 ，若 ，则 ，即 。解得 时方程有解，所以， ，故选项 正确.
故选：C
3．已知向量 ，满足 ， ， ， ，则 在 方向上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用投影向量的定义计算即可求得 在 方向上的投影向量.
【详解】因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 在 方向上的投影向量为 ．
故选：C.
4．某学校高一年级在校人数为 人，其中男生 人，女生 人，为了解学生身高发展情况，按分层
随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为 cm，抽出的女生身高为一个样本，其样
本平均数为 cm，则该校高一学生的平均身高为（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【答案】B
【分析】由题意可知， ，且 ，根据样本平均数 ，
求解即可.
【详解】由题意可知， ，且 ，
所以样本平均数 ，
故该校高一学生的平均身高的估计值为 ．
故选：B.
5．在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上存在点 ，使以 点为
圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】两圆有公共点，则两圆相交或相切，利用圆心距与半径的关系列不等式求实数 的取值范围.
【详解】解法一：
圆 的方程化标准方程为 ，所以圆 是以 为圆心，1为半径的圆.
设 ，由以 为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，
得关于 的不等式 有解，即 有解，
所以 ，解得 或 .
故选：B.
解法二：
圆 的方程化标准方程为 ，所以圆 是以 为圆心，1为半径的圆.
又直线 上存在点 ，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，
所以只需圆 与直线 有公共点即可.
由 ，解得 或 .
故选：B.
6．在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数y=f'(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一
个公共点，其坐标为 ，则（ ）
A．函数 的最大值为1 B．函数 的最小值为1
C．函数 的最大值为1 D．函数 的最小值为1
【答案】B
【分析】根据图象分辨 和y=f'(x)的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性
即可得解.
【详解】由图可知，两个函数图象都在 轴上方，所以f'(x)>0， 单调递增，所以实线为 的图象，虚线为f'(x)的图象， ，
对A， ， 单调递增，无最大值，A错误；
对B， ， ，
由图可知，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以当 时，函数取得最小值 ，B正确；
对C， ，由图可知 ，
所以 在R上单调递增，无最大值，C错误；
对D， ，
由图可知，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
当 时，函数取得最大值 ，D错误.
故选：B
7．已知正四棱锥 ，其中 ， ，平面 过点A，且平面 ，则平面 截正四
棱锥 的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线面垂直作出截面 ，然后利用余弦定理、三角形的面积公式等知识求得截面面积.
【详解】依题意，在正四棱锥 中， ，
且 ，
所以 ，所以三角形 是等边三角形，
设 是 的中点，则 ，所以 ，且 ，设平面 与 分别相交于点 ，
则由 得 ，
，
所以 ，故 ，
所以 ，
所以 ，
在三角形 中，由余弦定理得：
，
所以 ，
所以结合正四棱锥对称性得 ，
所以截面面积为 .
故选：A.
8．已知函数 的定义域为 ，且 若 ，则 的取
值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当 时，判断函数单调性，由单调性可知 ；当 时，根据单调性的性质
和复合函数单调性可知 单调递增，可得 ，然后将原不等式转化为 即可得
解.
【详解】当 时， ，
由复合函数的单调性可知 在 上单调递减，
所以 ；
当 时， ，
因为 在 上单调递增， 为增函数，
所以 在 上单调递增，
又 在 上为增函数，所以 在 单调递增，
所以 .
综上， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号.
所以不等式 ，
解得 且 且 ，即原不等式的解集为 .
故选：D
【点睛】思路点睛：解分段函数相关不等式时，需要根据自变量范围进行分类讨论，利用单调性求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 ，且 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【分析】A选项， 两式平方后相加得到 ；D选
项，由 得到 ；B选项，利用同角三角函数关系得到
；C选项，先求出 的值，利用正切二倍角公式得到答案.
【详解】A选项，因为 ，两式平方后相加可得
，所以 ，故A错误；
D选项，因为 ，所以 ，
又 ，故 ，
由于 ，故 ，
又 ，所以 ，故D正确；
B选项， ，故B正确；
C选项， ，
故 ，故C错误.
故选：BD.
10．若 ，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值判断AC，去绝对值后，赋值判断B，两边求导后，再赋值，判断D.
【详解】A.令 ，得 ，故A正确；
B. ，令
令展开式中的 ，得 ，故B错误；
C.令展开式中的 ，得 ，
所以 ，故C正确；
D.展开式的两边求导，得 ，
令 ，得 ，故D正确.
故选：ACD
11．已知 为坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是 上两点，且 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由题意得 三点共线，即直线 是过焦点 的直线，设其倾斜角为 ， ，
由焦点弦公式计算可判断 ；由焦半径公式 ， ，可得 ，可判断 ；由 与 互补，结合诱导公式可得 ，继而可判断 ；由两点间的距离公
式和弦长公式可得 ，可得 ，即可判断 .
【详解】由 可知， 三点共线，
所以直线 是过焦点 的直线，
设其倾斜角为 ， ，
所以焦点弦 ，故A正确，
设直线 与 的夹角为 ，
设 （ 轴上方的焦半径）， （ 轴下方的焦半径），
所以 ，故B正确，
，
故 ，故C正确，
所以 ，
即不存在 ，使 ，故D错误.
【点睛】焦点弦常用结论：
若抛物线 焦点弦 所在直线的倾斜角为 ，
则 ， ， ， ，
证明：设 ， ，
又 ，
，
解得 ，，
同理可得 ，
注： 表示 轴上方的焦半径， 表示 轴下方的焦半径.
，
.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．等比数列{a }共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 .
n
【答案】 /
【分析】结合题意列方程组分别求出 ， ，再由等比数列的性质求出结果即可.
【详解】设等比数列{a }的奇数项的和、偶数项的和分别为 ， .
n
由题意可得
解得
所以 ．
故答案为： .
13．函数 与 和 分别交于 ， 两点，设 在 处的切线 的倾
斜角为 ， 在 处的切线 的倾斜角为 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】由对称性可得 ，利用导数求切线 和 的斜率，得 和 ，由 解出 ，再由求出 的值.
【详解】函数 与 和 分别交于 ， 两点，
则 ， ，
函数 的图象关于直线 对称，函数 和 的图象也关于直线 对称，
所以 ， 两点关于直线 对称，有 ，
函数 的导数为 ，函数 的导数为 ，
则 ， ，
由 ，有 ，即 ，
由 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：
本题除了导数和倍角公式的运用，关键点在于运用函数的对称性或对数式的运算，得到 .
14．某校高三年级有 个班，每个班均有 人，第 （ ）个班中有
个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生
的概率是 ，则 .
【答案】
【分析】根据题设，第 个班中，取三次的方法有 种，再求第三次取出的人为男生
的方法数，进而求出第 个班中第三次取出的人为男生的概率 ，再由 即可求参数.
【详解】每个班被取出的概率为 ，取第 个班中取三次的方法有 种；
第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：
男男男： 种；女男男： 种；
男女男： 种；
女女男： 种；
所以，第三次取出为男生的方法数：
，
综上，第 个班中第三次取出的人为男生的概率 ，
所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率 ，
则 ，即 ，可得 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：首先求出第 个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得
到第 个班中第三次取出的人为男生的概率 为关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知函数
(1)求 在 处的切线；
(2)比较 与 的大小并说明理由.
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）求得 ，得到 ，且 ，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）求得 ，得到 在 上单调递增，结合 ，得到 即可得到
.【详解】（1）解：因为函数 ，可得 ，
可得 ，且 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .........................6分
（2）解：由 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
又由 ，所以 时， ，即 在 上恒成立，
所以 ，即 ..........................13分
16．（15分）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角C；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式化简为 ，再弦化切得 ，再逆用和角正切
公式可得 ，进而可求解；
（2）利用正弦定理边化角得 ，令 ，则 ，转化为
求 取值范围，从而利用二次函数在区间的最值求法可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，，因为 ，所以 ，
所以 ，上式整理得 ，即 ，.........................3
分
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，解得 ..........................7分
（2）因为
，........................9分
所以令 ，因为 ，所以
所以 ，则 .则 ，
所以 ，.........................12分
令 ，因为 的对称轴为 ，且开口向上，所以 在区间 上单调递增，
所以 的取值范围为 ，
所以 的取值范围为 ..........................15分
【点睛】关键点睛：
第二问中求 的取值范围，利用 与 的关系，设 ，
从而 ，最终问题转化为求 的取值范围.17．（15分）在 中， ， ，D为边 上一点， ，E为 上一点，
，将 沿 翻折，使A到 处， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若射线 上存在点M，使 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求λ.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）题意先证明 平面 ，得到 ，根据线面垂直判定定理得证；
（2）作 ，垂直为Q，由（1）得 ，证得 平面 ，以B为原点， ， ，
的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得 和平面 的一个法向量
，根据 与平面 所成角正弦值为 ，解得参数的值；
【详解】（1）证明：由题意知 ， ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 .........................7分
（2）作 ，垂直为Q，由（1）知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面
故以B为原点， ， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ， ，
又 ，
所以 ，故 ， .........................13分
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则
设 与平面 所成角为θ，
则 ，
解得 或 ，
由题意知 ，故 ..........................15分
18．（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，
且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 与椭圆C交于 A、B两点.
①若直线 过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值；
②若直线 过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形?
若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)① ;②
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可；
（2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k
的值；
②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为 ，通过这个等式转化为
的函数，即可求解取值范围.
【详解】（1）由双曲线. 的渐近线方程为 ，
再由椭圆 的右焦点分别为 到渐近线的距离为 可得：，因为 ，所以解得 ，
再由椭圆的一个顶点为 ，可得 ，
所以由 ，
即椭圆C的标准方程为 ；.........................3分
（2）①直线 过椭圆右焦点F₂可得： ，即 ，
所以由直线 与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去 得：
，
设两交点A(x ,y ),B(x ,y )，则有
1 1 2 2
所以 ，
又椭圆左焦点F (-1,0)到直线 的距离为 ，
1
所以 ，
解得： 或 （舍去），即 ；.........................10分
②假设存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点 ， 且 ，可知直线方程为 ，
与椭圆 联立方程组，消去 得： ，
由 ，且 ，解得 ，设两交点A(x ,y ),B(x ,y )， 中点 ，则有
1 1 2 2
所以 ，
即 ，整理得 ，
又因为 ，所以 ，则 ..........................17分
【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以 为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再
利用求解中点坐标来表示 斜率，最后利用斜率乘积等于 ，从而得到关于 的函数来求取值范围.
19．（17分）若数列 中 且对任意的 恒成立，
则称数列 为“ 数列”.
(1)若数列 为“ 数列”，写出所有可能的 ；
(2)若“ 数列” 中， ，求 的最大值；
(3)设 为给定的偶数，对所有可能的“ 数列” ，记 ，其中
表示 这 个数中最大的数，求 的最小值.
【答案】(1) 或 或 (2) (3)
【分析】（1）利用“ 数列”的定义，得到关于 的不等式组，列出所有满足条件 ， 即可得解；
（2）利用“ 数列”的定义，推得 ，进而得到 ，解得 ；再
取 ，推得 符合题意，由此得解；
（3）利用“ 数列”的定义，结合（2）中结论推得 ；再取特殊例子证得成立，从而得解.
【详解】（1）依题意，因为数列1， ， ，7为“ 数列”，
则 ，注意到 ，
故所有可能的 ， 为 或 或 ..........................3分
（2）一方面，注意到： ，
对任意的 ，令 ，
则 且 ，故 对任意的 恒成立（★），
当 时，注意到 ，
得 ，
此时 ，
即 ，解得 ，故 ；
另一方面，取 ，
则对任意的 ， ，故数列 为“ 数列”，
此时 ，即 符合题意.
综上， 的最大值为 ..........................10分
（3）当 时，
一方面：由（★）式， ，
则 ，
此时有
，
故 ，
另一方面，当 ， ， ， ， ， ， ， 时，
，取 ，则 ， ， ，
且 ，
，
此时 ，
综上， 的最小值为 ..........................17分
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.
归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
