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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专
用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列 的公比不为1，且 ， ， 成等差数列，则数列 的公比为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知函数 在区间 内既有最大值，又有最小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数 ，若存在 使得 成立，则 的最大值
为（ ）A． B．1 C．2 D．
7．已知圆 和圆 交于两点，点 在圆 上运动，点 在
圆 上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 和圆 关于直线 对称
B．圆 和圆 的公共弦长为
C． 的取值范围为
D．若 为直线 上的动点，则 的最小值为
8．已知点 为扇形 的弧 上任意一点，且 ，若 （ ），则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A．
B．C． 在 上为增函数
D．函数 在 上有且只有2个零点
10．如图，棱长为 的正方体 的内切球为球 ， ， 分别是棱 ， 的中点， 在
棱 上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球面面积为
B．存在点 ，使得 平面
C．平面 被球 截得的截面圆的面积为
D．当 为 的中点时，过 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为
11．已知椭圆： 与双曲线： 有公共焦点 ， ，它们的离心
率分别为 ， ，P是它们在第一象限的交点， 的内切圆圆心为Q， ，O为坐标原
点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为
C．过 作直线 的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若 的展开式中的常数项为24，则实数a的值为 ．
13．如图，已知过抛物线 （ ）的焦点 的直线与抛物线交于 两点，过点A作抛物线的准
线的垂线 ，垂足为 ，抛物线的准线与 轴交于点 ， 为坐标原点，记 ， ， 分别为
， ， 的面积.若 ，则直线 的斜率为 ．
14．在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为 的面积，且 ，则
的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）在直三棱柱 中， ， ， ，G是
的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．
(1)若Q为 的中点，证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角正弦值为 ，求 ．16．（15分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，
工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为
了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结
果如下表：
关注 不关注 合计
男生 55 60
女生
合计 75
(1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有 的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？
(2)为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供
选择：
方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；
方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.已知振华同学答对这4个问题的概率分别为 ，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，
则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17．（15分）在 中， 为 的中点， ，记 ， .
(1)证明： 或 ；
(2)若 ，且 ，求 的最大值.
18．（17分）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；(2)记数列 的前n项和为 ．
（i）若 ，证明： ．
（ii）已知函数 ，若 ，证明： ．
19．（17分）给出如下的定义和定理：
定义：若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点 ，且 与 的对称轴不平行，则称直线 与抛物线 相
切，公共点 称为切点．
定理：过抛物线 上一点 处的切线方程为 ．
完成下述问题：
已知抛物线 ，焦点为 ，过 外一点 （不在 轴上），作 的两条切线，切点分别为 ，
（ 在 轴两侧）直线 分别交 轴于 两点，
(1)若 ，求线段 的长度；
(2)若点 在直线 上，证明直线 过定点，并求出该定点；
(3)若点 在曲线 上，求四边形 的面积的范围．
