文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专
用）
黄金卷02·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B C A C C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
CD BCD ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2 13． 14．③④
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】(1)∵函数f(x)＝4sin(ω>0)在上单调递减，
∴π－＝≤＝，解得0<ω≤①． (2分)
由x∈，ω>0，
得ωx＋∈， (3分)
∴由正弦函数的单调性，可知k∈Z，
解得1＋12k≤ω≤＋2k，k∈Z．
令k＝0，得1≤ω≤，满足①；
令k＝1，得13≤ω≤，不满足①， (5分)
∴ω的取值范围为1≤ω≤，即最大值为． (6分)(2)∵f(x)＝4sin的图像关于点中心对称，
∴ω＋＝kπ(k∈Z)， (7分)
即ω＝－(k∈Z)． (8分)
又由(1)得1≤ω≤，∴ω＝，
∴f(x)＝4sin． (9分)
当x∈时，
x＋∈． (10分)
由f(x)∈[－2，4]，
得sin∈，
∴≤m＋≤，解得≤m≤，
即m的取值范围是． (13 分)
16．（15分）
【详解】(Ⅰ)因为a ＝2a－n＋1，
n＋1 n
所以a －(n＋1)＝2(a－n)，
n＋1 n
由此可得数列{a－n}是以a－1＝2为首项，2为公比的等比数列， (4分)
n 1
因此，a－n＝2×2n－1＝2n，
n
所以数列{a}的通项公式为a＝2n＋n. (7分)
n n
(Ⅱ)由(Ⅰ)得b＝＝＝－， (12分)
n
故T＝b＋b＋…＋b＝＋(－)＋…＋＝－.(15分)
n 1 2 n
17．（15分）
【详解】(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形，且△ADE为等边三角形，
所以∠BCE＝120°.
又因为E为CD的中点，所以CE＝ED＝DA＝CB，
所以△BCE为等腰三角形，
所以∠CEB＝30°，
所以∠AEB＝180°－∠AED－∠BEC＝90°，
所以BE⊥AE. (4分)
又因为平面APE⊥平面ABCE，平面APE∩平面ABCE＝AE，BE 平面ABCE，
所以BE⊥平面APE. ⊂
又因为AP 平面APE，
所以BE⊥⊂AP. (6分)
(2)存在点F，且当点F为线段PB上靠近点P的三等分点时，平面AEF与平面APE的夹角为45°.(7分)
证明如下：取AE的中点O，连接PO，
因为△APE为等边三角形，所以PO⊥AE.
又因为平面APE⊥平面ABCE，平面APE∩平面ABCE＝AE，PO 平面APE，
所以PO⊥平面ABCE. ⊂
易得PO＝，BE＝2.
取AB的中点G，连接OG，则OG∥BE. (8分)
由(1)得BE⊥AE，所以OG⊥AE，所以OA，OG，OP两两垂直．以点O为坐标原点，OA，OG，OP
所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
如图所示，则A(1，0，0)，B(－1，2，0)，P(0，0，)，E(－1，0，0)，
所以EA＝(2，0，0)，EB＝(0，2，0)，PB＝(－1，2，－)，EP＝(1，0，)． (10分)
假设存在点F，使得平面AEF与平面APE的夹角为45°.
设PF＝λPB＝(－λ，2λ，－λ)，λ∈(0，1]，
则EF＝EP＋PF＝(1－λ，2λ，－λ)．
设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令z＝2λ，则可得平面AEF的一个法向量为m＝(0，λ－1，2λ)． (12分)
由(1)可知EB为平面APE的一个法向量，
所以cos45°＝|cos〈m，EB〉|＝＝＝，
所以2(5λ2－2λ＋1)＝4(λ－1)2，解得λ＝或λ＝－1(舍去)，
所以存在点F，且当点F为线段PB上靠近点P的三等分点时，平面AEF与平面APE的夹角为45°.
(15分)
18．（17分）
【详解】(Ⅰ)由题意可得2a＝2，即a＝. (1分)
因为椭圆C的离心率为，所以e＝＝，
所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝1，(3分)
所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (4分)(Ⅱ)显然直线l的斜率存在，设过点(2，0)的直线l的方程为y＝k(x－2)，
联立方程消去y整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
则Δ＝64k4－4(1＋2k2)·(8k2－2)＝8(1－2k2)>0，即k2<. (5分)
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以y＋y＝k(x＋x－4)＝k＝－.
1 2 1 2
由 ，得(x＋x，y＋y)＝m(x ，y )，
1 2 1 2 M M
所以x ＝·，y ＝·. (6分)
M M
将(x ，y )代入椭圆方程可得·2＋·2＝1，解得m2＝.
M M
因为m∈，
所以≤≤，解得≤k2≤1，
结合Δ>0，所以≤k2<. (8分)
由弦长公式可得，
|AB|＝|x－x|
1 2
＝·
＝·＝2·
＝2·
＝2·
＝2·
＝2·. (10分)
因为≤k2<，所以≤1＋2k2<2，
所以<≤.
因为函数y＝2－在上单调递增，
所以2·∈，
即|AB|∈. (12分)
(Ⅲ)设G(x，y)，H(x，y)，由题易知x≠x，设直线GH的方程为y＝nx＋b′，不妨取n>0，b′>0.
3 3 4 4 3 4
联立
整理得(2n2＋1)x2＋4nb′x＋2b′2－2＝0①，
则Δ＝(4nb′)2－4(2n2＋1)(2b′2－2)＝0，
1
所以b′2＝2n2＋1.
将其代入①式，得b′2x2＋4nb′x＋4n2＝0，解得x＝，所以x＝.
3
联立n2x2＋2(nb′－p)x＋b′2＝0②，
则Δ＝4(nb′－p)2－4n2b′2＝0，
2
所以p＝2nb′.将其代入②式，解方程得x＝，
所以x＝，所以＝＝
4
＝. (13分)
由x＝可得y＝2b′，所以k ＝2n，
4 4 OH
所以直线OH：y＝2nx.
联立整理得x2＝1，
所以x ＝，y ＝，
N N
所以点N到GH的距离为
d＝＝， (14分)
所以S ＝|GH|·d
NGH
△
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝. (15分)
令t＝4n＋(t≥4)，
则S ＝
NGH
△
＝≥×
＝2×＝，
当且仅当4n＝，即n＝时取等号．
由椭圆和抛物线的对称性，
可知当n<0，b′<0，S 的最小值也是.
NGH
△
综上，S 的最小值为. （17分）
NGH
△
19．（17分）
【详解】(Ⅰ)∵>0，a>0，∴x>0.
对函数f(x)求导，得f′(x)＝. (1分)
当m≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，此时f(x)没有最小值． (2分)当m>0时，在(0，m)上f′(x)<0，f(x)单调递减；在(m，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x) ＝f(m)＝1＋ln＝2，解得＝e. (4分)
min
(Ⅱ)证明：(ⅰ)当m＝1时，f(x)＝＋ln.
由(Ⅰ)可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x) ＝f(1)＝1－lna<0. (5分)
min
又∵f(a)＝>0，
∴存在x∈(1，a)，使得f(x)＝＋ln＝0，
0 0
即lna＝＋lnx＝ln(x· )，即a＝x· .
0 0 0
∴要证＋x<a－1，只需证＋x＋1<x· (x>1)． (7分)
0 0 0 0
令t＝，t∈(0，1)，则只需证t＋＋1<·et，
即证et>t2＋t＋1(0<t<1)． (8分)
令g(t)＝et－t2－t－1(0<t<1)，则g′(t)＝et－t－1，
令φ(t)＝et－t－1，则φ′(t)＝et－1.
∵φ′(t)>0，∴φ(t)在(0，1)上单调递增，
∴φ(t)>φ(0)＝0，∴g(t)在(0，1)上单调递增，
∴g(t)>g(0)＝e0－0－0－1＝0，
∴当0<t<1时，et>t2＋t＋1成立，
∴＋x<a－1. (10分)
0
(ⅱ)∵a>e，∴lna>1，∴2lna－ln(lna)＜2lna.
由(ⅰ)可知lna＝＋lnx，
0
∴要证x＋>2lna－ln(lna)，
0
只需证x＋>2lna，即证x＋>2，
0 0
即证2lnx＋－x<0(x>1)． (13分)
0 0 0
令h(x)＝2lnx＋－x(x>1)，则h′(x)＝－<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴h(x)<h(1)＝2ln1＋1－1＝0，
∴2lnx0＋－x0<0，即x0＋>2lna－ln(lna)． (17分)
