文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A C A C B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
9 10 11
BD BC ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.1
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变形求 ；
（2）利用正弦定理将 的范围转化为三角函数的值域求解.
【详解】（1）由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .（2）因为 ，则 ，
因为 ,
所以 .
所以 .
因为 .所以 .所以 ，
所以 .
16．（15分）
【答案】(1) (2)4或
【分析】（1）利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解；
（2）利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解.
【详解】（1）设抛物线 的焦点为 ，由抛物线的定义可得 ，则
，
当 三点共线且点 在线段 上时， 取得最小值 ， 则 ，整理得
，解得 或 ，因为 ，所以 ，故 的方程为 .
（2）设过点 的直线 .
联立 ，消元得 ，则 ，由
，得
代入韦达定理得：
化简得 ，得 或 .故 的斜率为4或 .
17．（15分）
【答案】(1)证明见详解(2)❑√3(3)存在点 满足题意，
【分析】（1）先证明 平面 ，再证明 ，即可得证；
（2）求点 到平面 的距离即求点 到平面 的距离，利用三棱锥等体积法求解；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又底面 是正方形，则
，且 与 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 分别是 的中点，所以 ，
所以 .
（2）因为 分别是 的中点，
所以 ，
所以平面 即是平面 ，
由（1）知 平面 ，则 平面 ， 平面 ，
，则 ，
设点 到平面 的距离为 ，由 ，
得 ，即 ，
解得 ，
所以点 到平面 的距离为 .
（3）如图以 为原点， 为 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，A(2,0,0)， ， ， ，
， ， ，
设线段 上存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，且 ，
， ， ，设平面 的一个法向量为⃗n=(a,b,c)，则 ，即 ，令 ，得 ，
， ，整理得 ，解得 或 （舍），
，即存在点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时 .
18．（17分）
【答案】(1) 、
(2)单调递减区间为 ， ，单调递增区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 ，即可得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得 ，求出函数的定义域与导函数，再解得关于导函数的不等式，即可求出函
数的单调区间；
（3）由（2）不妨设 ，则 ，则只需证明 ，即证 ，令
，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，因为函数 在点 处的切线方程为 ，所以 ，即 ，
解得 .
（2）由（1）可得 定义域为 ，
则 ，
因为 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 .
（3）由（1）可得当 时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
则 在 处取得极小值 ，
因为当 时，存在常数 ，使得方程 有两个不同的实数解 ， ，
即 与 有两个交点，则 ，
不妨设 ，则 ，
要证 ，
即证 ，又 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以只需证明 ，
又 ，则只需证明 ，令 ，
则
，
令 ， ，则 ，
则 在 上单调递减，且 ，所以 ，
所以 ，即 在 上单调递减，
所以 ，
即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
则 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
19．（17分）
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题意，即可直接写出 ；
（2）由 可得 ，结合 可得 ，即可证明；
（3）若 且 则 ，进而 ，由（2）可知 ，分类讨论 、 时 与 的大小关系，即可证明.
【详解】（1） ；
（2）因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，即 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（3）对任意 ，令 ，
若 且 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
对 ，因为 ，
由（2）可知，令 ，则 .
若 ，因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
若 ，则 ，
所以 .
综上， 即 .
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、
运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的
性质，落脚点仍然是集合相关知识.
