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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考2卷专
用）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简集合 ，分析集合 中的元素，即可得到结果.
【详解】由题意得， .
对于集合 ，当 时， ，当 为其他整数时， ，
所以 .
故选：D.
2．“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】求出满足题意的充要条件为 ，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】因为不等式 的解集为 ，所以应有 ，
解得 .
选择的必要不充分条件的范围，应该大于 包含的范围，显然只有C项满足.
故选：C.3．在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】由题意，求出 ， 的坐标，利用向量垂直的坐标表示列示求出 ，进而求出 .
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，所以 ，所以 ．
故选：A．
4．已知 为数列 的前 项和，且 ，若 对任意正整数 恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用 关系及等比数列定义得 ，将问题化为 恒成立，研究右侧的单调性并求
其最大值，即可得答案.
【详解】由 ，令 ，解得 ，
当 时，由 ，得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
由 ，即 恒成立，令 ，则 ，而 ，所以 ，即数列 单调递减，故 ，
所以 ，所以 的最小值为 .
故选：B
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的函数图像进行大小比较.
【详解】∵ 且 ，∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
∴ ， ， ，即 且 ，
又∵ ， ， ，∴ ，
故 ，故 .
故选：D.
6．已知 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用和角公式先把 的分子、分母展开，再弦化切，代入已知条件即可.
【详解】因为 ．
故选：C7．如图所示，在三棱锥 中， ，且平面 平面
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证 ，取 的中点分别为 ，再证 平面 ，推得点 为三棱锥
外接球的球心，即可求得该三棱锥外接球的半径，计算即得表面积.
【详解】在 中， ，
，则 ，
取 的中点分别为 ，则 分别为 的外心，且 ，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，因 平面 ，故 ,
在 中， 又
在 中，
在 中，故 为三棱锥 外接球的球心，外接球的半径 ，
故外接球的表面积 .
故选:D．
8．对 ，不等式 恒成立，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】令 ，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得
在
上恒成立，问题转化为函数 有相同的零点，计算可得选项D正确.
【详解】由 得 ，
对于选项A、B，若 ，可令 ，不等式可化为 ，
当 时， ，
要使 恒成立，则需 ，即 恒成立，
∴ ，
当 时， ，
要使 恒成立，则需 ，即 恒成立，∴ ，
∴ ，
当 时， ，
要使 恒成立，则需 ，即 恒成立，
∴ ，
综上可得，不存在 使得不等式 恒成立，选项A、B错误.
对于选项C、D，若 ，
∵
∴ ，
∴ ，
要使不等式 恒成立，则需 ，
∵函数 在 为增函数，
∴函数 有相同的零点，
由 得 ，由 得， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，选项D正确.
故选D.
【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下：
（1）不等式变形为 .（2）对于选项A、B，若 ，对 ， 与 符号不确定，可取 ，通过分
类讨论得到不存在 使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误.
（3）对于选项C、D，若 ，确定 恒成立，转化为 ，则 与
同号，利用函数的单调性可知函数 有相同的零点，利用零点相同可得 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分
（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ）
A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】ABD
【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义即可判断选项.
【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲 7.0 8.3 8.9 8.9 9.2 9.3
乙 8.1 8.5 8.6 8.6 8.7 9.1
故可得如下表格：
甲 乙中位数 A正确
极差 B正确
，故第75百分位数是第5个数
第75百分位数 C错误
9.2 8.7
方差 由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差 D正确
故选：ABD
A B C D
1 1 1 1
10．在棱长为2的正方体 中，点E，F分别为棱 ， 的中点，点G在底面 内
运动(含边界)，且 平面 ，则（ ）
A．若 ，则 平面
B．点G到直线 的距离为
C．若 ，则
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】ACD
【分析】分别取棱 ， ， ， 的中点M，N，P，Q作出图形，确定平面 ，及点G的轨迹．
对于A，由条件得点G为棱 的中点P，根据线面平行的性质判定即可；对于B，由 ，可得点
G到 的距离即为 与 间的距离，求解即可判断；对于C，连 ，与 的交点即为点G，求解
即可得出 ；对于D，设 面 ，根据对称性可知， 为 的中点，由已知得
为直线 与平面 所成的角，即可求解判断.
【详解】分别取棱 ， ， ， 的中点M，N，P，Q，∵点E，F分别为棱 ， 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，同理 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，
根据条件 平面 ，可得平面 即为平面 ，
于是点G的轨迹即为线段
对于A，若 ，则点G在 上，
又点G的轨迹即为线段 ，则点G为棱 的中点P，连 ，∵ ，∴ 为平行四边形，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故A正确；
对于B，∵点F，Q分别为棱 ， 的中点，∴ ，
∴正六边形 的边长为 ，
设 正六边形 的中心，
则 均是边长为 的正三角形，
∵ ,∴ ，即 与 间的距离 ，
因为 ，所以点G到 的距离即为 与 间的距离，
所以点G到 的距离为 ，所以 B错误；
对于C，连 ，交点为 ，
∵ ，则点G在 上，
又点G的轨迹即为线段 ，则点G为 与 的交点，
∵ 分别为 的中点，则 ，
此时 ，于是 满足，所以C正确；
对于D，设 平面 ，根据对称性可知， 为 的中点，
∴ ，∵ 平面 ，∴ 为直线 与平面 所成的角，
又 ，
∴ ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，故D正确，
故选：ACD.
11．已知椭圆 和双曲线 有公共焦点，左，右焦点分
别为 ，设两曲线在第一象限的交点为 为 的角平分线， ，点 均在 轴上，
设椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为
C．若 ，则 的取值范围为D．若 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【分析】由椭圆和双曲线定义有 ，将两式平方相加后由余弦定理和向量的数量积计
算可得A错误；由对称性得到四边形的顶点的坐标，再结合基本不等式求出面积可得B正确；由离心率的
定义和边长关系得到 ，再结合对勾函数的单调性可得C正确；由角平分线的定理将问
题转化为求 的最小值，再由椭圆和双曲线的性质结合余弦定理得到 ，再用基本不等式的
乘“1”法分析可得D正确；
【详解】
对于A，设 ，
由椭圆和双曲线定义有 ，
将两式平方得 ，
相加整理得 ，
又在 中，由余弦定理有 ，
则 ，即 ，则 ，故A选项错误；
对于B，椭圆和双曲线一个交点 ，由椭圆和双曲线的对称性可知，
另外三个点的坐标为 ， ，
以它们为顶点的四边形为矩形，面积 ，又点 在椭圆上，
所以满足 ，则有 ，
当且仅当 时等式成立，故B选项正确；
对于C， 即 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
，则 ．
令 ，则 ，
函数 在 上单调递减，所以 ，故C选项正确；对于D，由 为 的角平分线， ，易知 为 的外角平分线，
则由角平分线性质定理有 即 ，
由外角平分线性质定理有 ，即 ，
求 的最小值即求 的最小值；
由 可得 ，
代入 即 ，整理可得 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，故D选项正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：
本题D选项关键在于利用角平分定理将所求 转换成求 的最小值，再结合基本不等
式的乘“1”法分析.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ， ，点C，D满足 ， ，则D点的轨迹方程为
.【答案】
【分析】根据题意设 的坐标，利用平面向量线性运算与模的坐标表示，结合求轨迹的相关点法即可得
解.
【详解】依题意，设 ，又 ， ，
则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
则 ，故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以D点的轨迹方程为 .
故答案为： .
13．记数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，函数 均存在两个极值点
， ，且满足 ，则 .
【答案】
【分析】根据导数法求极值，得 ，设 ，因为 ，
结合已知得 ，再利用裂项相消法求和.【详解】函数 定义域为(0,+∞)，且 ，
令 ，得 ，
如图所示，不妨设 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，代入条件得 ，
化简得： ，
即 ，
所以
.
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：根据导数法求极值，得 ，设 ，因为
，从而得 ，代入已知化简得： ，从而可得 ，可解问题.
14．已知抛物线 的焦点为 ，A(x ,y )，B(x ,y )， 为抛物线 上的任意三
1 1 2 2
点（异于坐标原点 ）， ，且 ，若直线AB，AD，BD的斜率分别为
， ， ，则 的值为 ； ．
【答案】 2 0
【分析】根据三角形重心公式以及抛物线焦半径公式求解即可；根据题意求得直线 的斜率，代
入等式计算即可求解.
【详解】因为 为抛物线上任意三点，且 ，
所以F为 的重心， ，
所以 ，
又 ，即 .
因此抛物线 的方程为 ，
则 ， ，
两式相减得： ，
所以 ，
同理可得 ， ，所以 .
故答案为：2；0.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）在斜 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，
(1)求 的值；
(2)点D是边AB的中点，连接CD，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简得， ，结合 ，根据 可求；
（2）根据 ，两边平方之后结合正弦定理可得 ， ，再求出 ，即可得三
角形面积．
【详解】（1）由正弦定理可知 ，
所以 ，于是 ，
因为 是斜三角形，所以 ， ，于是 ，
因为 ，所以 或 ，
因为 ，所以 ，因此 ，
因为 ，于是 ；
（2）由条件知 ，两边同时平方得 ，
即 ，
根据正弦定理得 ，
即 ，代入 ，得 ，解得 ， ，
又 ，
所以 的面积为
16．（15分）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 上恒成立，求 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解函数在某点的切线方程；
（2）分类讨论 以及结合导数和函数的增减性，分别从 ， ， 三方面分类讨论；
【详解】（1）当 时， ，
，
所以曲线 在点 处切线的斜率 ，又 ，
所以曲线 在点 处切线的方程为 即 .
（2）因为 在区间 上恒成立，即 ，
对 ，即 恒成立，
令 ，只需 ，
， ，
当 时，有 ，则 ，
在 上单调递减， 符合题意，
当 时，令 ，
其对应方程 的判别式 ，
若 即 时，有 ，即 ，
在 上单调递减， ，符合题意，
若 即 时， ，对称轴 ，
又 ，
方程 的大于1的根为 ，
， ，即 ，
， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增， ，不合题意.综上， 在区间 上恒成立，
综上，实数 的取值范围为 .
17．（15分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且
.
(1)求四棱锥 的体积.
(2)点 满足 为棱 的中点，且 平面 .
①求 的值；
②求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)① ；② .
【分析】（1）分别求得四棱锥的高与底面积，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果；
（2）①根据题意，取 的中点 ，连接 ，即可证明四边形 是平行四边形，从而得到结果；
②建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1） 平面 平面 的边 上的高为四棱锥 的高.
由已知得底面 是直角梯形， ，
是等腰直角三角形，
边 上的高 .四棱锥 的体积 .
（2）①如图，取 的中点 ，连接 .
为棱 的中点， ，
又 ，又 四点共面，
平面 ，平面 平面 ，
四边形 是平行四边形.
，即 .
②取 的中点 ，连接 ，由条件知四边形 为正方形.以 为坐标原点， 所在直线分别
为 轴､ 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，如图.
易知 .
.
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则
令 ，可得 .
易知平面 的一个法向量为 .，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（17分）甲、乙两人各有 张卡片，每张卡片上标有一个数，甲的卡片上分别标有数
，乙的卡片上分别标有数 ，两人进行 轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从
自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数的大小，数大的人得 分，数小的人得 分，然后各
自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．
(1)当 时，求甲的总得分 的分布列和数学期望；
(2) 轮比赛后，求甲的总得分 不小于 的概率．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）根据题得 的可能值为 ，分别求 ， ， ， 的概率，列出分布列，
再求期望；
（2）先求得 和 的概率，再由 求解.
【详解】（1）解：由题知甲的总得分 的可能值为 ，
不妨设甲四轮出的卡片上的数依次为 ，则乙四轮出的卡片共有 种情况，
当 时，乙出的卡片上的数依次为 ，所以 ．
当 时，乙出的卡片上的数依次为 ； ； ； ； ；
； ； ； ； ； ．
所以 ．当 时，乙出的卡片上的数依次为 ； ； ； ； ； ；
； ； ； ； ．
所以 ．
当 时，乙出的卡片上的数依次为 ，所以 ．
因此甲的总得分 的分布列为
0 1 2 3
故甲的总得分 的数学期望为 ．
（2）设 轮比赛后甲的总得分为 ，则 ．
不妨设甲 轮出的卡片上的数依次数 ，
则乙 轮出的卡片顺序有 种．
若 ，则乙出的卡片上的数依次为 ，所以 ．
若 ，即甲只有一张卡片上的数比乙的卡片上的数大，
不妨设甲 轮出的卡片上的数依次为 ，
乙 轮出的卡片上的数为：
中元素的一个排列： ， ， ，…， ，
故要满足题意，则存在唯一的 ，使得 ，即 ，
且对任意的 满足 ， ．（提示：观察到 ， 均为 的倍数，接下来可以将
研究对象转化到 的排列中进行研究，更容易理解）
令 ，则问题转化为存在唯一的 ，使得 ，且对任意的 满足 ，
．（注意：此处满足的条件是从上面的 满足的条件转化而来，且 ， ， ，…， 的取值顺序
不确定）易知 ，则 ．
当 时， ．
当 时， ，且 ，
设满足 ， 的序列 ， ，…， ， 的个数为 ：
①当 时， ， ，…， ， 为 的一个排列，
故满足 ， 的序列 ， ，…， ， 的个数为 ；
②当 时， ， ，…， ， 为 的一个排列，，
故满足 ， 的序列 ， ，…， ， 的个数为 ．
（提示：注意 出现的位置与 等价）
综上， ，易得 ，故 ，
因为当且仅当序列 ， ，…， ， 为 时满足任意的 ， ，且 ，所以
满足 ， ，且 的序列 ， ，…， ， 的个数为 ．
设第 轮甲卡片上的数比乙卡片上的数大， ，则根据以上推论可得满足 的情况有
（种）．
故 ．
综上， ．
所以甲的总得分 不小于 的概率为 ．
19．（17分）椭圆 左焦点 和 ， 构成一个面积为 的 ，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 是 在三象限的点， 与 轴交于 ， 与 轴交于
①求四边形 的面积；②求 面积最大值及相应 点的坐标
【答案】(1) ；
(2)① ；② 面积最大值为 ， .
【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式列方程，结合 关系即可求解.
（2）①设点P(x ,y )，求出直线 和 的方程，写出点 和 的坐标，计算 和 ，即可证明
0 0
四边形的面积为定值；②要求 面积最大值只需求出 面积最大值，结合基本不等式及等号成立
的条件可得结果.
【详解】（1）
设 ，由 ，得 ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
由 面积为 得， ，
又∵ ，
∴ ，故椭圆标准方程为
（2）①设P(x ,y )，则 ，
0 0
由（1）得 ， ，
直线 ： ，直线 ： ，
故 ， ，
四边形 的面积
.
②由①得 ，要求 面积最大值只需求出 面积最大值即可.
由 ， 得 ，直线 ： ，
∴点 到 的距离 ，
∴ .
，∴ ，
∴ ，解得
当 时， ，此时 ，
由 得 ，
由 面积最大值为 得 面积最大值为 .
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合问题，具体思路如下：
（1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于两对角线乘积的一半；
（2） 面积不易表达，可借助四边形面积为定值，把求 面积最大值转化为求 面积最大值.
