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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知集合 ，集合 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，结合各选项知B正确．选B．
2．设 ，则 的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解： ，
的虚部为1．
故选：A．
3．设 ，则双曲线 离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】由双曲线方程可得 ，从而可得离心率的取值范围.
【详解】由双曲线方程可得 ，又
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以双曲线的离心率的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.
4．如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是
A．-2835 B．2835 C．21 D．-21
【答案】A
【分析】先通过赋值法得到展开式的各项系数和；求得 ，再利用二项展开式的通项公式求出第 项，
令 ，即可求得展开式中 的系数．
【详解】令 得展开式的各项系数和为 ,解得 ，故可知 的展开式通项为
，令 ，得到的即为展开式中 的系数
，
故选：A.
5．已知 ， 两点到直线l： 的距离相等，则 （ ）
A． 或 B． 或4 C．2或4 D． 或
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可.【详解】由题意得 ，解得 或 .
故选：A.
6．下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C． 的充要条件是
D．“ ”是“函数 的最小正周期为 ”的充分不必要条件
【答案】D
【分析】利用特殊值法判断 、 ，利用含量词的命题的否定形式判断 ，利用充分条件、必要条件判断
.
【详解】对于 ，“若 ，则 ”是假命题，因为 ，而 ；
“若 ，则 ”是假命题，因为 ，而 ，
即“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件， 错误；
对于 ，命题“ ， ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“ ， ”， 错误；
对于 ，当 ， 时， 成立，
因此 成立，不一定有 ， 错误；
对于 ，当 时，函数 的最小正周期为 ；
当函数 的最小正周期为 时， 或 .
所以“ ”是“函数 的最小正周期为 ”的充分不必要条件. 正确.故选：
7．函数 的图象向右平移 个单位后关于原点对称，则函数 在 上
的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件根据函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得 ，
，由此根据 求得 的值，得到函数解析式即可求最值．
【详解】函数 的图象向右平移 个单位后，
得到函数 的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得 ， ，
∵ ，∴ ， ，
由题意 ，得 ，
∴ ，
∴函数 在区间 的最大值为 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数
最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．8．在如图的几何体中，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直， ， ，
，二面角 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据平面 平面 ，可得 平面 ，然后作 //
可知 ，进一步可知二面角 的平面角，计算 ，可得结果.
【详解】作 交 于点 , // 交 于点 ，
并连接 ，如图
因为平面 平面 ，
且四边形 为正方形，所以 ，
又平面 平面 ， 平面
所以 平面 ，又 平面 ，
所以
由 平面
所以 平面 ，又 平面 ，则
所以二面角 的平面角为
又 // ， // ，所以四边形 为平行四边形
由 ， ， ，则 ,且 ，由 ，所以
则
所以
故选：D
【点睛】本题考查二面角的平面角的正切值，本题关键在于找到该角，同时考查了面面垂直的性质定理以
及线面垂直的判定定理，属中档题.
1
9．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a＝f（log ），b＝f（ 3），c＝f（2﹣0.8），则a，
25
b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可．
【详解】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，
∴函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，
1
a＝f（log2 ）＝f（﹣log25）＝f（log25），
5
b＝f（ 3）＝f（﹣log23）＝f（log23），
∵0＜2﹣0.8＜1＜log23＜2＜log25，
∴f（2﹣0.8）＞f（log23）＞f（log25），
即c＞b＞a，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．
10．设集合 ，点P的坐标为 ，满足“对任意 ，都有
”的点P构成的图形为 ，满足“存在 ，使得
”的点P构成的图形为 ．对于下述两个结论：① 为正方形以及该正方形内部区域；② 的面积大于32．以下说法正确的为（ ）．
A．①、②都正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确
【答案】C
【分析】先确定 所表达的意义，了解满足该条件的点 的轨迹，再求 点轨迹
区域的面积，可以得到问题的答案.
【详解】因为 ，表示除原点外的平面内的所有点.
，
所以P(x,y)表示到直线 和 的距离之和不大于4的点.
如图：
易知直线 和 垂直，
则 ， .
当 时， .
因为 ，所以 .
所以 是以原点为圆心，半径在 范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确；
当 时，存在|OP|使得 ，故②正确.故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件 转化成 ，
借助点到直线的距离公式，明确 点坐标满足的条件.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知抛物线 的焦点到原点的距离为5，则实数p的值为 ．
【答案】10
【分析】抛物线 的焦点到原点的距离为 ，由此求得p的值．
【详解】抛物线 的焦点到原点的距离为5，则 ，解得 ．故答案为10．
【点睛】本题考查了抛物线方程的应用问题，是基础题．
12．若角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，则
.
【答案】7
【分析】利用三角函数定义求出 ，再利用诱导公式、和角的正切公式计算即得.
【详解】依题意， ，
所以 .
故答案为：7
13．设双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，若过点 且斜率为 的直线
l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】【分析】根据已知条件可得出 与 的大小关系，再利用公式 即得.
【详解】由题可知双曲线 的渐近线方程为 ，
由于过点 且斜率为 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，
则 ，
因此， ，又 ，
所以，该双曲线的离心率为取值范围是 .
故答案为： .
14．如图，正方形 的边长为 ，取 正方形各边中点 ，作第2个正方形 ，
然后再取正方形 各边的中点 ，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去.则从正方形
开始，连续10个正方形的面积之和是 .【答案】
【解析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数
列求和公式即可得解.
【详解】记第 个正方形的边长为 ，面积 ，由每个正方形都是由上一个正方形各边中点
连接得到，可知第 个正方形的边长为 ，面积 ，计算可得 ，
所以正方形面积构成的数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故从正方形 开始，连续10个正方形的面积之和 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查等比数列求和，解题的关键是要理解题意，从已知条件明确下一个正方形与
上个正方形的面积关系，转化为等比数列求和，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.
15．已知无穷等差数列 中的各项均大于0，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，设等差数列 的公差为 ，分析可得 的取值范围，由 求出 ，则有
，构造函数 ，利用导数可求出其最值，从而可得
答案.【详解】根据题意，设等差数列 的公差为 ，由于无穷等差数列 中的各项均大于0，则 ，
由于 ，则 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
因为 ，所以 ，
令 （ ），则 ，
由 ，得 ，得 ，解得 或 （舍去）。
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题才查等差数列的性质的应用，考查导数的应用，解题的关键是由已知求出
，则 ，然后构造函数，利用导数可求得其最小值，考查数学转化思想和计算能
力，属于较难题.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）在① ，
② ，
③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选择条件______，
(1)求角A；
(2)若O是 内一点， ， ， ， ，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分；选择第②个条件解答不给分.
【答案】(1)选②不符合题意，无论选①还是选③，都有
(2)
【分析】（1）结合正弦定理或者余弦定理进行边角转换，由三角形内角和为 及和差公式化简等式，再根
据角的范围及函数值，即可求得A；
（2）先由角度关系得 ，即 ，在 、 中，分别
由正弦定理可得， ， ，即可建立等式化简得
，即可求得 .
【详解】（1）若选① ，
则 ，…………………1分
又因为 ，所以 ，即 ，…………………2分
所以 ，又因为 ，所以 ，…………………4分
所以 ，解得 ；…………………5分
若选② ，则 ，…………………2分
所以 ，即 矛盾，故选②不符合题意；…………………3分若选③ ，
则 ，…………………3分
又因为 ，所以 ，从而 ；…………………5分
综上所述，选②不符合题意，无论选①还是选③，都有 ；
（2）
， ，
所以 ，…………………6分
在 中，由正弦定理得， ，
，…………………8分
在 中， ，
，…………………10分
，整理得 ，…………………12分
.…………………13分
17．（13分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随
机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.年级排
名
是否近
视
近视 45 30
不近视 5 20
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在4.8以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有
关系，对年级名次 名和 名的学生进行了调查，得到上表中数据，根据表中的数据，能否在
犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
附：
【答案】（1）610；（2）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
【分析】（1）求出视力在 以下的频数为 人，即得解；
（2）利用独立性检验求解.
【详解】（1）设各组的频率为 ，
由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…………………2分
因为后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为27，24，21，18，…………………4分所以视力在 以下的频数为 人. …………………5分
故全年级视力在 以下的人数约为 人. …………………7分
（2）由已知得，
，…………………12分
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. …………………13分
18．（14分）如图，在四棱锥 中，已知底面 是边长为2的菱形， 平面 ，
， ， 分别是棱 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）可先证线线平行，然后根据线面平行的判定定理证明线面平行，也可先根据线线平行证明
面面平行，再根据面面平行证明线面平行；
（2）可利用传统法，先找到线在直角三角形求线面角的正弦值，也可根据题中的线面位置关系建立空间
直角坐标系，利用空间向量法进行求解．
【详解】（1）如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是棱 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，…………………1分
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，…………………2分
又由 是棱 的中点， 为 的中点，可得 ，…………………3分
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，…………………4分
又由 ，且 平面 ，所以平面 平面 ， …………………5分
又因为 平面 ，所以 平面 ．…………………6分（2）取 的中点 ，连接 ，由 是等边三角形，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
所以 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如
图所示的空间直角坐标系， …………………8分
则 ， ， ， ，…………………9分
故 ， ， ．…………………10分
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，…………………11分
令 ，则 ，故 为平面 的一个法向量，…………………12分
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ， …………………13分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．…………………14分
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻
辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，
同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角
公式求解.19．（15分）已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 轴上，且焦距为 ，椭圆上一点到两焦点的距离之和
为6.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设点 是椭圆上一动点，点 是圆 上一动点，求 的最大值，并求出此时点 的坐标.
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，此时点 坐标为
【分析】（1）由焦距和椭圆定义得到方程，求出 ，进而得到椭圆方程；
（2）当 过圆心时 的值最大，故先求出 的最大值，设 ，表达出 ，
结合 ，求出最大值，并得到此时点 的坐标.
【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为 ，
且 ，即 ，…………………2分
所以 ，…………………3分
故椭圆方程为 ；…………………4分
（2）设圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 的坐标为 ，…………………5分
显然当 过圆心时 的值最大，
故要求 的最大值，只需要求 的最大值，…………………6分设点 ，则 ，①…………………7分
又因为点 在椭圆上，所以 ，即 ，②…………………8分
将②代入①整理得：
，…………………10分
因为点 在椭圆上运动，所以 ，…………………11分
故当 时， ，…………………12分
即 ，所以 ，…………………13分
把 代入②得 ，所点 的坐标为 .…………………15分
20．（15分）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由 得到 ，再利用几何意义求解；
（2）将 ，都有 ，转化为 ，设 ，利用导数法求
得其最大值即可.
【详解】（1）解：当 时， ，…………………2分
因为 ，…………………3分
所以，曲线 在 处的切线方程是 ，即 ．…………………5分
（2）因为 ，都有 ，所以 ．…………………6分
设 ，则 ．…………………8分
记 ，设 ，则 ，…………………10分
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，…………………12分
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减．…………………13分
因为 ，当 时， ，当 时， ，…………………14分所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以， ．…………………15分
【点睛】方法点睛：对于 ， 恒成立，则 ；对于 ， 恒成立，则
；对于 ， 有解，则 ；对于 ， 有解，则 ；
21．（15分）对给定实数p，若数列 满足以下三个条件：① ， ；②对任意正整数n，
；③对任意正整数m､n， .则称数列 为“ 数列”.
(1)对前4项为2､ ､0､2的数列，可以是 数列吗？说明理由；
(2)若 是 数列，求 的值；
(3)是否存在常数p，使得存在 数列 ，对任意正整数n，均满足 ？若存在，求出所有这样的
p；若不存在，说明理由.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)1
(3)存在，2
【分析】(1)由题意考查 的值即可说明数列不是 数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定 的值；
(3)构造数列 ，易知数列 是 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 的
值.
【详解】（1）由性质③结合题意可知 ，矛盾，故前4项 的
数列，不可能是 数列. …………………2分（2）性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；…………………3分
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .……………………………4分
又因为 或 ，
所以 或 .…………………5分
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，……………………………6分
下面用归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：……………………………7分
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾. ……………………………8分
同理可得：
，有 ；，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .…………………………………………………10分
（3）令 ，由性质③可知：
，…………………11分
由于 ，
因此数列 为 数列. ……………………………12分
由（2）可知:
若 ；……………………………13分
， ，……………………………14分
因此，此时，，满足题意. ………………………………………15分
