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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若向量 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二项式 的展开式中 的系数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为 的直线与直线 交于点A，点M在抛物线上，且
满足|MA|=|MF|，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
7．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．8．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可
视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ．在底面
中，若 ，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．27 D．
10．已知 是数列 的前 项和，若 ，数列 的首项
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则 .
12．已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为 ．
13．在平面直角坐标系 中，角 的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆 交于点 （ 不在坐标轴上）．过点 作 轴的垂线，垂足为 ．若记 为点 到直线 的距离，则 的最大值为
，此时 的一个取值为 .
14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量
器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为
，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
15．已知函数 ，给出下列四个结论：
①对任意实数 ，函数 总存在零点；
②存在实数 ，使得函数 恒大于0；
③对任意实数 ，函数 一定存在最小值；
④存在实数 ，使得函数 在 上始终单调递减.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
在 中， ， .
(1)求 的大小；
(2) 是 的中点.从条件① ，条件② ，条件③ 中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求 的面积；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
17．（14分）
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形且 ， 是边长为 的等边三角形，， ， 分别为 ， ， 的中点， 与 交于点 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
18．（13分）
2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了
很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞
赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中
随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
基
实践 理论 中等 优异
础
基础
中等
优异
(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为 ．
求 ， 的值；
(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取 人，求至少有一个
人实践能力的成绩为优异的概率；
(3)若基础、中等和优异对应得分为 分、 分和 分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出 的值．
（直接写出答案）19．（15分）
设椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点 ， ．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若 的面积是 面积
的 倍，求直线 的方程．
20．（15分）
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最小值．
21．（15分）
设自然数 ，由 个不同正整数 构成集合 ，若集合 的每一个非空子集
所含元素的和构成新的集合 ，记 为集合 元素的个数(1)已知集合 ，集合 ，分别求解 ．
(2)对于集合 ，若 取得最大值，则称该集合 为“极异集合”
①求 的最大值（无需证明）．
②已知集合 是极异集合，记 求证：数列 的前 项和 ．
