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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D． 或
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3． 的展开式中常数项为（ ）
A． B．160 C．80 D．
4．若底面半径为r，母线长为 的圆锥的表面积与直径为 的球的表面积相等，则 （ ）
A． B． C． D．5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知火箭在 时刻的速度为 （单位：千米/秒），质量为 （单位：千克），满足
（ 为常数）， 、 分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量
千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为 ，经过 秒后的速度 千米/秒，
此时火箭质量 千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（ ， ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知函数 ，若函数 有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C
交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 ， 为复数，则下列说法中正确的有（ ）A．若 ， ，其中 ， ， ， ，且 ， ，则
B．若 （ ）为纯虚数，则
C．若关于 的方程 ， ， 的一个虚根为 ，则
D．若 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于第三象限
10．已知 ， ，若函数 的图象关于 对称，且函数 在
上单调，则（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C． 为偶函数 D．
11．“大鹏曲线”的方程为 ，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线 与
C的交点可能个数的集合记为 ，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．“ ”的充要条件是“ 且 ”
D．“ ”的充分条件是“ ， 或 ”
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有：流水线1 流水线2 流水线3 总计
方差 0.825 0.634 0.810
均值 9.0 9.4 9.2
则流水线2的均值为 ，流水线3的标准差为 ．
13．已知a，b， ，二次函数 有零点，则 的最小值是 ．
14.在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 ， ．若 ，
则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）在三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ，
的中点， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
16．(本小题满分15分）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投
入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3
分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
(2)求该生两次投篮得分 的分布列及数学期望．
17．(本小题满分15分）已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，短轴长为 ，且经过点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 （不与 轴重合）与 交于 两点，直线 与直线 的交点分别为 ，记
直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
18．(本小题满分17分）已知曲线 在点 处的切线为 ．
(1)求直线 的方程；
(2)证明：除点 外，曲线 在直线 的下方；
(3)设 ，求证： ．
19．(本小题满分17分）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 和 ，定义和集
，用符号 表示和集 内的元素个数.
(1)已知集合 ， ， ，若 ，求 的值；
(2)记集合 ， ， ， 为 中所有元素之和， ，求
证： ；
(3)若 与 都是由 个整数构成的集合，且 ，证明：若按一定顺序排列，
集合 与 中的元素是两个公差相等的等差数列.
