文档文本内容
高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知 为整数集， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，其中 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设非零向量 ， ， ，满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则“ ”是“ ”的
（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C．16 D．144
5．已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ， ，将函数 的图象经过下列变换可以与 的图象重
合的是（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出
蓄电池的容量 （单位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流 （单位： ）之间关系的经验公式：
，其中 为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数 ，在电池容量不变的条件下，当放电电
流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时间 .若计算时取 ，则该蓄电
池的Peukert常数 大约为（ ）A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2
8．如图，正方体 的棱长为2，点 为底面 的中心，点 在侧面 的边界及其
内部运动．若 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的
研究.现给出一个同余问题：如果 和 被 除得的余数相同，那么称 和 对模 同余，记为
.若 ，则 的值可以是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
10．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口
曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆
（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥 的轴截面 是等
边三角形，椭圆 所在平面为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 ，若 ，则 .12．已知双曲线 的焦距为 ，若点 在双曲线 上，则 的离心率等
于 .
13．已知 ．使 成立的一组 的值为 ； ．
14．已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则
； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为 ．
15．设函数 ，给出下列四个结论：
①当 时，函数 有三个极值点；
②当 时，函数 有三个极值点；
③ ， 是函数 的极小值点；
④ ， 不是函数 的极大值点．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）在 中, .
(1)求 ;
(2)若 ,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使 存在且唯一确定,求 及
的面积.
条件①: ;
条件②: ;
条件③: .17．（14分）如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ， ， .
(1)求证： ；
(2)已知 ， ， ， 是线段 上一点，当 时，求二面角 的余弦
值.
18．（13分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：
首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，
胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜
区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获
得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若 ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决
出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19．（15分）已知椭圆C： （ ）过点 ，右焦点为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线
交于点P、Q，求 的大小．
20．（15分）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 处取得极值，求 的单调区间；
(3)求证：当 时，关于x的不等式 在区间 上无解.
21．（15分）已知数列 ，记集合 .
(1)若数列 为 ，写出集合 ；
(2)若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明
理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
