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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据集合 求出解集，再根据交集的概念及运算即可求出结果.
【详解】根据 可得 ，
又 ，
则 ，
故选：B.
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法的运算即可得解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D
3．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求解即得.【详解】在 中，由 及正弦定理,
得 ，
则 ，而 ，解得 ，又 ，
所以 .
故选：C
4．已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可.
【详解】因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，故 ，即 ， ，
解得 ，故 ，即渐近线方程是 ，故D正确.
故选：D
5．直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，得到圆心 到 的距离，利用垂径定理求出弦长.
【详解】 的圆心为 ，半径为2，圆心 到 的距离 ，
故直线 被圆 截得的弦长为
.
故选：D
6．如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网
方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言
将其表示为“若直角三角形两直角边为 ， 斜边为 （ 、 、 均为正数）.则 ，
”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一
段长 的软钢丝作为 的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的
“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，结合基本不等式即可得 的最小值.
【详解】由题可知 ，
则 ，即 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立
又“赵爽弦图”的面积为 ，
所以当 时，“赵爽弦图”的最小面积为 .
故选：B.7．已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】计算 后与 比较可得．
【详解】 ，则 ，即 ，
故选：A．
8．已知函数 ，则“ ”是“函数 有零点”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据特值法与零点存在定理可快速得出结论.
【详解】函数 ，定义域为 ，
当 时， ，当 时， ，
根据零点存在定理，知此时函数 必有零点，所以充分性成立；
当 ， 时， ，易知 ，所以函数 有零点，
此时 ，所以必要性不成立.
故“ ”是“函数 有零点”的充分不必要条件.
故选： .
9．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学
启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形
铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从
最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到 ，由n为264 的因数，且
为偶数，把四个选项一一代入验证即可.
【详解】设最上面一层放 根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放 根，
由等差数列前n项和公式得： ，
∴ ，
∵ ,∴n为264 的因数，且 为偶数，
把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.
故选：D
10．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为 ，已知 ．为了将
容器中的水倒出，以 为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面
距离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正方体的结构特征，结合棱柱的体积公式及未盛水的部分体积不变列方程，求解可得答案.
【详解】如图，平面 与水面的夹角为 ，
则平面 与水平桌面的夹角为 ．由题意可得三棱柱 的体积为4 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
水面距离桌面的高度为 ．
故选：B.
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 展开式的常数项为15，则展开式的各项系数和为 ．
【答案】
【详解】试题分析：因为通项 ，故常数项为 ，
令x=1即得展开式的各项系数和
考点：二项式定理．
12．抛物线 的焦点 的坐标为 ，过焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，
则 .
3
【答案】 /1.5
2
【分析】根据抛物线的焦点坐标公式可得 ，再根据抛物线的焦半径公式可得 的横坐标，进而可得直线 的方程，联立可得抛物线方程，利用韦达定理可得 的坐标求解焦半径即可.
【详解】由题意， 的焦点坐标为 ，设 ，
则由焦半径公式可得 ，解得 ，不妨设 ，则直线 的斜率为 ，
则直线 的为 ，联立 可得 ，即 ，
故 ，故 ，则 .
故答案为： ；
13．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为 .已知我国
某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为 ，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，
处理后废气中剩余二氧化硫的浓度 （单位： ）与处理时间 （单位：分钟）满足关系式：
，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：
，结果取整数）
【答案】16
【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到 ，代入 ，求
出答案.
【详解】由题意得 ，
即 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准.
故答案为：16
14．如图，圆内接四边形 中， 为直径， ， .则 的长度为 ；
.
【答案】
【分析】首先根据圆的性质，得到 ，再根据余弦定理，即可求解 ，直角三角形中分别求
解 和 ，转化向量 ，再根据向量数量积的定义求解.
【详解】因为 是直径， ， ，所以 ，
，所以 ， ，
，
所以 ；在 中， ， 中， ，
，
，
，
.
故答案为： ；
15．在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的
价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数 ，使得对一切正整数 ，都有 ，则称 为
有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收敛数列，如数列 ，
显然对一切正整数 都有 ，而 的极限为 ，即数列 既有界也收敛.如数列 ，显然对一
切正整数 都有 ，但不存在极限，即数列 有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有
①． ②．③． ④．
【答案】①③
【分析】根据数列的通项公式（递推公式）列出数列的前几项，结合所给定义判断即可.
【详解】对于①：因为 ，所以 ，所以 ，但是 的极限不存在，
即 有界但不收敛，故①正确；
对于②：因为 ，所以 ，所以 ，且 的极限为 ，
所以 有界且收敛，故②错误；
对于③：因为 ，
所以 ，
，
所以 ，所以 ，但是 的极限不存在，
所以有界但不收敛，故③正确；
对于④：因为 ，所以 ，所以 的极限为 ，且 ，
所以 有界且收敛，故④错误；
故选：①③.三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）已知向量 ， ，函数 ，将函数
的图象向右平移 个单位长度可得到 的图象.
(1)求函数 的解析式；
(2)设锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 ，求 周长的最
大值.
【答案】(1) (2)12
【分析】（1）利用平面向量数量积的计算公式，结合辅助角公式，求出 的解析式，再根据图象的平
移，可求 的解析式.
（2）由 和 为锐角三角形，求出角 ，再利用余弦定理结合基本（均值）不等式，可求
周长的最大值.
【详解】（1）因为
.
所以 .
（2）由 ，
所以 或 ，所以 或 ，
又因为 为锐角三角形，所以 .
由余弦定理： .又 ，所以 （当且仅当 时取“
”），
此时， 的周长取得最大值，为 .
17．（14分）现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期内分裂一次，一个 细胞每次分裂能生成一个
或两个新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失．设每次分裂成一个新 细胞的概率为 ，分裂成两个新
细胞的概率为 ；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的
细胞，从第一个周期开始分裂．
(1)当 时，求 个周期结束后 细胞数量为 个的概率；
(2)设 个周期结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1） 个周期结束后 细胞数量为 个,分以下三种情况，第一个周期分裂为 个细胞，后面两个
周期均保持为 个细胞，第二个周期分裂为 个细胞，后面一个周期保持为 个细胞，前两个周期都保持
为 个细胞，第三个周期分裂为 个细胞，依次计算即可得出结果；
（2）求出 的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望.
【详解】（1）由题意可知，当 时， 个周期结束后 细胞数量为 个,
则设第 个周期分裂为 个细胞，之后一直保持为 个 细胞，
第一个周期分裂为 个细胞，后面两个周期均保持为 个细胞，
故 ,
第二个周期分裂为 个细胞，后面一个周期保持为 个细胞，
故 ,
前两个周期都保持为 个细胞，第三个周期分裂为 个细胞，故 ，
综上可知， .
（2） 个周期结束后， 的取值可能为 ,
其中 ,
，
， ，
所以 分布列为
.
18．（14分）如图，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形， ，点 为
的中点.
(1)已知点 为线段 的中点，求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥 唯一确定，求：
（ⅰ）直线 到平面 的距离；
（ⅱ）二面角 的余弦值.
条件①： 平面 ；条件②： ；
条件③： 平面 平面 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）选择见解析， ；（ⅱ）
【分析】（1）利用平行四边形的证明得线线平行关系，再由线面平行判定定理可得；
（2）由条件①②，由线面垂直得 ，由勾股定理可得 ，再由 可得 ，
即 ，由此可建立空间直角坐标系，利用法向量方法求线面距（即点面距）与二面角的大小即可；
由条件①③，利用线面垂直与面面垂直的性质可得线线垂直，求解相关长度并由此建系，其余同选择条件
①②；选择条件②③，则四棱锥不能确定.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， .
因为点 为 的中点，所以 ， .
因为四边形 是平行四边形，
所以 ， .
因为点 为线段 的中点，所以 ．
所以 ， .
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .（2）选择条件①②：
连接 ，因为 平面 ，直线 平面 ，
则 ，即 .
因为 ， ，所以 .
因为 ，四边形 是平行四边形，
所以 ，且 ，又 ，
所以 .
所以 ，即
所以 .
如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ．
由题意得 ， ， ， ， ．
所以 ， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则
，即 .
令 ，则 ，所以 .
（ⅰ） ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，则直线 到平面 的距离为 .
（ⅱ）因为 是平面 的一个法向量，
，又由图可知二面角 是锐角，
所以二面角 的余弦值为 ；
选择条件①③：
连接 ，因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
则 ， ，即 .
因为 ， ，所以 .
又因为平面 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
由四边形 是平行四边形，则四边形 是矩形.
因为 ，所以 .
以下同选择条件①②.
若选择条件②③，四棱锥 不能唯一确定.
举例如下：
由上述选择①②与①③的求解可知，如上图所示的 两两垂直的四棱锥 满足题意；
下面构造一个不同的四棱锥：
如图，四棱锥 中，平面 平面 ，
则向量 空间中不共面的三个向量，
，且 ， ，
则由三面角余弦定理知，
，
由四边形 为平行四边形可知， ，
故 ，
则
，
故也满足条件 .
综上所述，如图所示的四棱锥 也满足题意，
即满足题意的四棱锥不能唯一确定.
19．（15分）在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足直线 与直线 的斜
率之积为 ，设点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，证明： .【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求曲线 的方程，注意 .
（2）设 、直线 为 ，联立曲线 ，应用韦达定理求 的坐标，进而用 表示
、 ，即可证结论.
【详解】（1）由题意可设 ，且 ，
则 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）当 ，不妨取 ，满足曲线的方程 ，
则 的方程为 ，可得 ，
此时可得 ，又 ，故 ；
当 不垂直于 时，设 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
所以 ，则 ，
故 ，又 ，
故 ，
即 ，所以 ，
综上所述： .
20．（15分）设函数 ， 已知曲线 在点
处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) .
(2)当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
(3)
【分析】（1）根据 可得；
（2）先求得 ，根据 ， ， ， 分类讨论即可.
（3）将问题转化为 在 上恒成立，先求 ，设 ， ，根据 ，将 分为 和 验证即可.
【详解】（1）由题意 ，可得
（2）由题意 的定义域为 ，
，
当 时， ，故 在区间 上单调递增，
当 时，令 得 ，
当 时， ，当 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， ，当 时，f'(x)>0，
故 在区间 上单调递增，
当 时， ，当 时，f'(x)<0，当 时，f'(x)>0，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
综上所述：
当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（3）由 得 ，即 ，设 ， 则由题意 在 上恒成立，
， 设 ，
则 ，
若 时， ，
当 时， ， ，故 ，
故 在区间 上单调递增，故 ，即 ，
故h(x)在区间 上单调递增，故 ，满足题意.
若 ，设 ，则 ，
则 在区间 上单调递增，故 使当 时， ，
因 ，故在区间 上 ，即h'(x)<0，
故h(x)在区间 上单调递减，故在 上 ，不符合题意
综上可知，实数 的取值范围为 .
21．（15分）若存在常数 ，使得数列 满足 ，则称数列 为“
数列”．
(1)判断数列：1，3，5，10，152是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)若数列 是首项为2的“ 数列”，数列 是等比数列，且 与 满足
，求 的值和数列 的通项公式；(3)若数列 是“ 数列”， 为数列 的前 项和， ， ，证明： ．
【答案】(1)不是“ 数列”，理由见解析 (2) ，
(3)证明见解析
【分析】（1）由 数列定义验证即可；
（2）由题可得 ，与 相减结合 数列定义可得关
于 的方程，即可得答案；
（3）注意到 ，构造函数 ，利用其单调性可证明结
论.
【详解】（1）根据“ 数列”的定义，则 ，故 ，
因为 成立， 成立，
不成立，
所以1，3，5，10，152不是“ 数列”．
（2）由 是首项为2的“ 数列”，则 ， ，
由{b }是等比数列，设公比为 ，
n
由 ，则 ，
两式作差可得 ，
即 ，
由 是“ 数列”，则 ，对于 ， 恒成立，所以 ，
即 对于 ， 恒成立，
则
解得， ， ，又由 ， ，
则 ，即 ，
故所求的 ，数列{b }的通项公式 ；
n
（3）证明：要证 ， 即证 ，
因数列 是“ 数列”，则 .
则要证 ，即证 .
又 ，对于 ， 恒成立，
因为 ， ，则 ，再结合 ， ， ，
反复利用 ，可得对于任意的 ， ， ，
则要证： ，即证 .
设函数 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时，f'(x)<0，则 在区间 单调递减，
因对于任意的 ， ， ，则 .
即 ， ，…， ，
相加可得，即，故命题得证.
