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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专
用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，求得集合 ，结合集合的交集、并集和补
集的运算，即可求解.
【详解】由函数 有意义，则满足 ，解得 ，所以 ，
又由不等式 ，解得 ，所以 ，
可得 ，
且 或 ，
则 ， ，
或 ， 或 .
故选：A.
2．已知 ，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由 ， ， ，得 ， ，于是 ，
由 ，取 ，满足 ，显然“ ， ”不成立，
所以“ ， ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知等比数列 的公比不为1，且 ， ， 成等差数列，则数列 的公比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式列方程求公比.
【详解】设等比数列{a }的公比为q，且 ，
n
由 ， ， 成等差数列，得 ，
整理得 ，则 .
故选：A
4．已知函数 在区间 内既有最大值，又有最小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件求出 的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
由已知， ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C.
5．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的性质可得 ，构造函数证明 即可比较大小.
【详解】令 ，求导得 ，即函数 在 上单调递减，
则 ，即 ，因此 ；
令 ，求导得 ，
函数 在 上单调递增，则 ，即 ，因此 ，
所以 .
故选：B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
6．设函数 ，若存在 使得 成立，则 的最大值
为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】首先求出 和 的值域范围，根据 建立等式关系，然后将 表示为一个关于其中一个变量的函数，最后求这个函数的最大值.
【详解】对 求导，所以 .
当 时， ， ，所以 ， 在 上单调递增.
当 时， ，当 时， ，所以 的值域是 .
对 求导，所以 .
令 ，即 ，解得 .
当 时， ， ，所以 在 上单调递增.
当 时， ，当 时， ，所以 的值域是 .
由 可得 ，则 .
因为 ，所以 ，那么 .
令 ， ，则 ，又因为 ， ，
所以 .
设 ， ，对 求导，所以 .
令 ，即 ，解得 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以 在 处取得最大值 .
故选：A.7．已知圆 和圆 交于两点，点 在圆 上运动，点 在
圆 上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 和圆 关于直线 对称
B．圆 和圆 的公共弦长为
C． 的取值范围为
D．若 为直线 上的动点，则 的最小值为
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，
由题意可知，当点 和 重合时， 的值最小，当 ， ， ， 四点共线时， 的值最大，进而
可判断C，求出 关于直线 对称点 的坐标，再结合两点间距离公式可判断D.
【详解】对于A， 和圆 ，
圆心和半径分别是 ，
则两圆心中点为 ，
若圆 和圆 关于直线 对称，则直线是 的中垂线，
但两圆心中点 不在直线 上，故A错误；
对于B， 到直线 的距离 ，
故公共弦长为 ，B错误；对于C，圆心距为 ，当点 和 重合时， 的值最小，
当 四点共线时， 的值最大为 ，
故 的取值范围为 ，C错误；
对于D，如图，设 关于直线 对称点为 ，
则 解得 即 关于直线 对称点为 ，
连接 交直线于点 ，此时 最小，
，
即 的最小值为 ，D正确.
故选：D.
8．已知点 为扇形 的弧 上任意一点，且 ，若 （ ），则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示 ，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即
可.
【详解】设圆 的半径为 ，由已知可设 为 轴的正半轴， 为坐标原点，过 点作 轴垂线为 轴建
立直角坐标系，
其中 ，其中 ，
由 ，
即 ，
整理得 ，
解得 ，
则 ，
，
所以 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数 ，则（ ）
A．
B．
C． 在 上为增函数
D．函数 在 上有且只有2个零点
【答案】ABD
【分析】根据函数的周期判断A，根据函数的对称轴判断B，根据正弦型函数的单调性判断C，根据数形
结合判断D.
【详解】由题意得函数 的最小正周期为 ，所以 成立，A项正确；
因为 ，所以 是 的最小值，
所以直线 是 图象的一条对称轴，所以 成立，B项正确；
当 时， ，当 时， 为减函数，C项错误；
由题意知 在 有两个不等实根，
设 ，由函数 的图象，如图，易知与直线 有两个不同的交点，D项正确.
故选：ABD
10．如图，棱长为 的正方体 的内切球为球 ， ， 分别是棱 ， 的中点， 在
棱 上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球面面积为
B．存在点 ，使得 平面
C．平面 被球 截得的截面圆的面积为
D．当 为 的中点时，过 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】ACD
【分析】根据内切球半径计算表面积判断A；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点 ，
其中 ，
利用空间向量法可判断B，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断C，确定当 为
的中点时，
过 的平面截该正方体所得截面为边长为 的正六边形，利用面积公式求面积判断D.
【详解】对于A，根据已知条件球 为以 为圆心，半径 ，内切球的球面面积为 ，A正确；
对于B： 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系，则由题意可得 ， ， ， ，
设点 ，其中 ，
对于 ， ， ，
设平面 法向量为 ，
， ，
则 ，
令 ，则y=-1， ，
为平面 的一个法向量，
若存在点 ，使 平面 ，
只需 ，因为 不成立，所以B错误；
对于C： 设平面 法向量为⃗m=(x ,y ,z )， ，
1 1 1
， ，
则 ，
令 ，则 ， ，
为平面 的法向量，又因为 ，
则 到平面 的距离为 ，则 ，
设平面 被球 截得的截面圆的半径为 ，
，
所以平面 被球 截得的截面圆的面积为 ，C选项正确；
对于D，当 为 中点时，过 的平面截该正方体所得截面为正六边形 ， ，
在 中， ，所以边长 ，
所以截面面积 ，D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方
体问题，关键是：（1）利用球的弦长公式计算弦长；（2）确定平面截正方体所得截面的形状.
11．已知椭圆： 与双曲线： 有公共焦点 ， ，它们的离心
率分别为 ， ，P是它们在第一象限的交点， 的内切圆圆心为Q， ，O为坐标原点，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为
C．过 作直线 的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线
D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
【答案】ABD【分析】A选项，根据 得到 ⊥ ，由椭圆定义和双曲线定义得到
，由勾股定理得到方程，求出 ，故A正确；B选项，由余弦定理得到
方程，求出 ，即 ，由基本不等式求出 的最小值；C选项，作出辅助线，得到
，得到H的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，C错误；D选项，先得到椭圆和双曲线
在P点处的切线的斜率，得到椭圆 在P(x ,y )点处的切线斜率为 ，双曲线
0 0
在P(x ,y )点处的切线斜率为 ，又 ，化简得
0 0
，从而得到斜率乘积为-1，得到D正确.
【详解】A选项，因为 ，
所以 ，
又 ，
故 ，
则 ⊥ ，
由椭圆定义可得 ，
由双曲线定义可得 ，解得 ，
由勾股定理得 ，即 ，
化简得 ，
即 ，
又 ，所以 ，A正确；
B选项，若 ，由余弦定理得 ，
即 ，
由（1）得 ，
代入上式得 ，即 ，
即 ，
因为又 ，所以 ，
由基本不等式得 ，即 ，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，
则 的最小值为 ，B正确；C选项，过 作直线 的垂线，垂足为H，延长 交 于点 ，
因为 平分 ，由三线合一得 ， 为 的中点，
则 ，
连接 ，由中位线性质得 ，
故点H的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，C错误；
D选项，下面证明椭圆 在P(x ,y )处的切线方程为 ，理由如下：
0 0
当 时，故切线的斜率存在，设切线方程为 ，
代入椭圆方程得： ，
由 ，化简得：
，
所以 ，
把 代入 ，得： ，
于是 ，
则椭圆的切线斜率为 ，切线方程为 ，整理得到 ，
其中 ，故 ，即 ，
当 时，此时 或 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，
综上：椭圆 在P(x ,y )处的切线方程为 ；
0 0
下面证明： 上一点 的切线方程为 ，
理由如下：设过点 的切线方程为 ，与 联立得，
，
由
化简得 ，
因为 ，代入上式得 ，
整理得 ，
同除以 得， ，
即 ，
因为 ， ，所以 ，
联立 ，两式相乘得， ，
从而 ，
故 ，
即 ，
令 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ，
故椭圆： 在P(x ,y )点处的切线斜率为 ，
0 0
双曲线 在P(x ,y )点处的切线斜率为 ，
0 0
又 ，故 ，
化简得 ，
又 ，所以 ，故
则斜率乘积为 ，
故两曲线在点 处的切线互相垂直，D正确.
故选：ABD
【点睛】过圆 上一点 的切线方程为： ，过圆 外一点 的切点弦方程为： .
过椭圆 上一点P(x ,y )的切线方程为 ，
0 0
过双曲线 上一点P(x ,y )的切线方程为
0 0
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若 的展开式中的常数项为24，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式 展开式的通项公式是 ，
令 ；令 （舍去）
所以 .
故答案为：
13．如图，已知过抛物线 （ ）的焦点 的直线与抛物线交于 两点，过点A作抛物线的准
线的垂线 ，垂足为 ，抛物线的准线与 轴交于点 ， 为坐标原点，记 ， ， 分别为 ，
， 的面积.若 ，则直线 的斜率为 ．【答案】
【分析】设直线 倾斜角为 ， ，可得， ，
，用 表示 ，结合题意运算求解即可.
【详解】设直线 倾斜角为 ， ，
可知： ，
且 ，解得 ，
则 ，
同理可得 ，
可知： ，
，
，
因为 ，则 ，整理得 ，解得 或 ，
且 ，则 ，可得 ，
所以直线 的斜率为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义可得 ，利用 表示其他量，结合题意运算求解.
14．在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为 的面积，且 ，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得 ，再根据同角关系式可得 ，然后利用
正弦定理与三角恒等变换公式化简可得 ，结合条件可得 取值范围，进而求得 的取值
范围，令 ，则 ，然后由对勾函数的单调性即可求出．
【详解】在 中，由余弦定理得 ，
且 的面积 ，
由 ，得 ，化简得 ，
又 ， ，联立得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，因为 为锐角三角形，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
设 ，其中 ，所以 ，
由对勾函数单调性知 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得 ，进而可以
求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）在直三棱柱 中， ， ， ，G是
的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．
(1)若Q为 的中点，证明： 平面 ；(2)若直线 与平面 所成的角正弦值为 ，求 ．
【详解】（1）连接 并延长，交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，
因为 为直三棱柱，所以平面 平面 ， ， ，
又 分别为 的中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ， (2分)
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，(3分)
同理可得 平面 ， (4 分)
因为 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ， (5 分)
又 平面 ，
所以 平面 ． (6 分)
（2）以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图空间直角坐标系，设 ，
则 ， ， ，
所以 ， (7 分)
由直三棱柱 可得， 为 的中点，
所以 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得， ，取 ，则 ， (10 分)
因为直线 与平面 所成的角正弦值为 ，
所以 ， (12 分)
整理得， ，解得 或 （不合题意舍），
所以 ． (13 分)
16．（15分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，
工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了
解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：关注 不关注 合计
男生 55 60
女生
合计 75
(1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有 的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？
(2)为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：
方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；
方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为 ，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振
华选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【详解】（1） 列联表如下：
关注 不关注 合计
男生 55 5 60
女生 20 10 30
合计 75 15 90
(3分)
， (6分)
能有 的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关. (7分)
（2）记这4个问题为 ，记振华答对 的事件分别记为 ，
分别记按方案一､二晋级的概率为 ，则
， (10分)
， (13分)
因为 ，振华选择方案一晋级的可能性更大. (15分)
17．（15分）在 中， 为 的中点， ，记 ， .
(1)证明： 或 ；
(2)若 ，且 ，求 的最大值.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ， (2分)
在 中，则 ； (3分)
在 中，则 ， (4分)
∵ ，
∴ ，∴ ， (5分)
∵ ，
∴ 或 ，即 或 . (7分)
（2） 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由已知 ，矛盾； (10分)
时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， (12分)
∴ ，
∵ ，
∴ 的最大值为 . (15分)18．（17分）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)记数列 的前n项和为 ．
（i）若 ，证明： ．
（ii）已知函数 ，若 ，证明： ．
【详解】（1）设 ，当 时， ，
所以 在 上为增函数，(1分)故当 时， ，
所以当 时， (2分)
设 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，(3分)故当 时， ，
所以当 时， (4分)
故当 时， (5分)
因为 ，当 时， ，
所以 在 上为增函数， (6分)
因为当 时， ，且由 ，
可得 ，所以 ，即 ，
所以 (7分)
（2）（i）因为 ，所以 ，
则 ， (8分)
所以 ，
即 ， (9分)
所以 (10分)
（ii）函数 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ， (11分)
所以当 时， ，
因此 ， (12分)
故 ，即 (13分)
因为 ，
所以当 时， ，
综上， ，所以 ， (16分)
所以 ，
即 . (17分)
19．（17分）给出如下的定义和定理：
定义：若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点 ，且 与 的对称轴不平行，则称直线 与抛物线 相切，
公共点 称为切点．
定理：过抛物线 上一点 处的切线方程为 ．
完成下述问题：已知抛物线 ，焦点为 ，过 外一点 （不在 轴上），作 的两条切线，切点分别为 ，（
在 轴两侧）直线 分别交 轴于 两点，
(1)若 ，求线段 的长度；
(2)若点 在直线 上，证明直线 过定点，并求出该定点；
(3)若点 在曲线 上，求四边形 的面积的范围．
【详解】（1）由题意知 ，直线 ， 的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，
设 ，因为 ， ， (2分)
不妨设 ，则 方程为 ，即 ， ， ，
所以线段CF的长度为 . (4分)
（2）设 ，直线 ，
联立 ，可得 . (6分)
在 轴两侧， ， ，
所以 点处的切线方程为 ，整理得 ， (8分)同理可求得 点处的切线方程为 ， (9分)
由 ，可得 ，
又 在直线 上， ，
直线 过定点 . (10分)
（3）由（2）可得 在曲线 上， . (12分)
由（1）可知 ，
，(13分)
(15分)
令 在 单调递减， (16分)
∴四边形的面积的范围为 (17分)
