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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷05·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B C D A C C A C A
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11． 12． 13． / 14. 5% 15.②④
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
而 ，则 ，
又 ，所以 .-----------------------------------5分
（2）若选①， 边上的高 ，在 中， ，
即 ，-----------------------------8分
在 中，由余弦定理 ，得 ，
整理得 ，而 ，解得 ，
的三边已知，由三角形全等的判定知， 存在且唯一，所以 的面积为 ；-----------------------------13分
若选②， ，则 ，
在 中， ，
由正弦定理 ，得 ，
根据三角形中大角对大边可知， 不存在；-----------------------------13分
若选③， ，由余弦定理 ，得 ，
则 ，显然 ，即方程无解，
因此 不存在，③不可选.-----------------------------13分
17．（14分）
【详解】（1）连接 ，
在 中，因为 分别为 ， 的中点，所以
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．-----------------------------5分
（2）因为直三棱柱 中， 为侧棱，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 为直角，
所以
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
由（1） ，所以 .-----------------------------10分
（3）建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ． ，
因此 ， ．
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
，即
令 ，则 ，于是 ，
设直线 与平面 所成角为 ．所以 ．-----------------------------14分
18．（13分）
【详解】（1）记事件 品牌 被选中，则 .-----------------------------2分
（2）由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时，
在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时，
在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时，
可能的取值有 ，则
分布列如下：
54 45 36
所以 元.-----------------------------7分
（3）充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为 ，
充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为 ，
充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为 ，
所以充电1千瓦时的平均费用为 元.-----------------------------11分
（4）若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为 元，
若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为 元，
结合购车成本有 ，所以新能源汽车花费更少.-----------------------------14分
19．（15分）
【详解】（1）定义域为 ，
，设
恒成立
所以 在 上是减函数，且
则当 时， ，即 ，
则当 时， ，即 ，
所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间 -----------------------------7分
（2）由（1）知 ，所以 ，
令 ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上的最小值为 ，
所以若关于 的不等式 有解，则 ，
即 .-----------------------------15分
20．（15分）
【详解】（1）由题意可知， 解得
，
则椭圆方程为 ，椭圆的离心率为 .-----------------------------5分（2）由题意可知，直线 的斜率存在且不为0， ，设直线方程为 ，
取 ，得 ，
联立 得 ， ，
，得 ，则 ．-----------------------------10分
，
.
因为 的面积是 面积的 倍，
，即 ，得 ，
直线 的方程为 ．-----------------------------15分
21．（15分）
【详解】（1）已知集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即 ．
集合 的非空子集有15个：计算可得 ，即 -----------------------------5分
（2）①集合 共有 个非空子集， 的最大值为
② ，
即证 -----------------------------10分
不妨设 ，即 的非空子集中元素和最小的子集的为 ，最大的为
集合 是极异集合， ，代表有 个不同的正整数，
即 ，
所以 中有 个元素，由元素互异性可得
又 ，即可得 ，
因此数列 的前 项和 .-----------------------------15分
