文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专
用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知集合 为正奇数组成的集合，且 ，则 ，故选C.
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ．故选B
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【解析】由题意可得 ，因为 ，所以 ，解得 ，故选：B
4．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ，
.
，
， ，
.
故选： .
5．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥PO的底面圆半径为 ，由母线长为2，侧面积等于 ，得 ，
解得 ，因此圆锥的高 ，
所以该圆锥的体积为 .故选：C
6．若函数 在区间 上不单调，则a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又函数 在区间 上不单调，所以 ，故选：B．
7．方程 在 内根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意， ，
即 ，可得 或 ，
解得 或
又因为 ，所以 ，故选：D.
8．已知函数 ，且满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 为奇函数，
又因为 ，所以 为 上的增函数.
因为 ， 为奇函数，所以 ，
又 为 上的增函数，所以 ，
即 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每
人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分 （满
分为100分）近似服从正态分布 ，下列说法正确的是（ ）
附：若 ，则 ， ，
．
A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25
B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C．
D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布
【答案】BC
【解析】由题意得，该问卷得分数据服从正态分布 ，可得数据的期望是 ，方差是 ，
标准差是 ，所以A错误；
由 ，可得 ，
所以该问卷中得分超过85分的约有16份，所以B正确；
由正态分布概率密度曲线的对称性，可得 ，所以C正确；由同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，所以D错误．
故选：BC.
10．已知 函数 的极值点，则（ ）
A． 是 的极小值点 B． 有三个零点
C． D．
【答案】ABD
【解析】由 ，
得 ，
由 是函数的极值点，得 ，解得 ，
故函数 ， ，
令 ，解得 或 ，
所以函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 为极小值点，A选项正确；
又 ， ， ，
，
所以函数 分别在 ， ， 上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；
又 在 上单调递减，且 ，
所以 ，
又 ，故 ，C选项错误；
同理 ，且 ，
，D选项正确；
故选：ABD.
11．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫
星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 中， ， ，动点P满足 ，
其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为 ， B．曲线C关于x轴对称
C． 面积的最大值为2 D． 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】设点 ，依题意， ，整理得： ，
对于A，当 时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为 ， ，A正确；
对于B，因 ，由 换 方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；
对于C，当 时， ，即点 在曲线C上， ，C不正确；
对于D，由 得： ，解得 ，
于是得 ，解得 ，D正确.
故选：ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我们把离心率为 的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线” ，
则 的虚轴长为 ．【答案】
【解析】因为 ，即 ，解得 ，所以 的虚轴
长为
13．若直线 与曲线 和圆 ，都相切，则a的值为 ．
【答案】
【解析】设直线 与曲线 相切的切点坐标为 ，
由曲线 ，可得 ，则 ，解得 ，
所以切线方程为 ，
因为直线 与圆 相切，
所以 ，解得 或 （舍）．
14．编号为1、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐1人，座位编号和学
生编号一致时称为一个“配对”，用X表示“配对”数，则X的期望 ．
【答案】1
【解析】X的可能取值为0,1,2,4，全排列为 ，
当X=0时，先安排的第一人由3种选择，比如说先安排“1”号人，可以选择2,3,4座位，
如果安排在2号位，则“2”号人也可以由3种选择，比如是安排在1号位，
则“3”号人只能在4号位，“4”号人只能在3号位；如果是安排在3号位，
则“3 ”号人只能在4号位，“4”号人只能在1号位，如果安排在4号位也是类似，
所以有 种排法， ；
当X=1时，先从4人中选一人安排在对应的位置上，由 种选法，
比如选“1”号人安排在1号位，则“2”号人有2种选法，如果选3，则“3”号人只能选4，
“4”号人只能2,；如果选4，则“4”号人只能只能选3，“3”号人只能选2；所以有种排法， ；
当X=2时，先从4人中选2人安排在对应的位置，有 种选法，比如先安排“1”号人
和“2”号人，分别安排在1号和2号位置，则“3”号人和“4”号人只能由1种排法，所以总共
有6种排法， ；
当X=4时，只有1种排法， ；
其数学期望为
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
（1）求B；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【解】（1） ，
由正弦定理得： ， ………………………2分
整理得： ， ………………………3分
∵在 中， ，
∴ ，
即 ， ………………………4分
∴ ，
即 ； ………………………5分
（2）由余弦定理得： ， ………………………7分
∴ ， ………………………8分
∵ ，
∴ ， ………………………10分∴ ，
∴ ， ………………………12分
∴ 的周长为 . ………………………13分
16．(本小题满分15分）已知椭圆C： （ ）的一个焦点为 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线l： 与椭圆C交于A，B两点，若 面积为 ，求直线 的方程.
【解】（1）由焦点为 得 ………………………1分
又离心率 ，得到 ， ………………………2分
所以 ， ………………………3分
所以椭圆C的方程为 . ………………………4分
（2）设
联立 ，消y得 ， ……………………5分
，得到 ，
由韦达定理得， ， ， ……………………7分
又因为 ， ………………………9分
又原点到直线的距离为 ， ………………………10分所以 ，………………13分
所以 ，所以 ，即 ，满足 ， ……………………14分
所以直线l的方程为 . ……………………15分
17．(本小题满分15分）如图，AB是圆的直径，MA与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A、B的一点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
【解】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， …………………1分
∵ 是圆的直径，∴ ， ………………………2分
∵ ， 、 平面 ，
∴ 平面 ， ………………………4分
∵ 平面 ，∴平面 平面 ； ……………………5分
（2）法一：如图，建立空间直角坐标系 ，则 ， ………………………7分
， ………………………8分
设平面 的法向量 ，
则有 ，令 ，得 ，………………………10分
设平面 的法向量 ，
则有 ，
令 ，得 ， ………………………12分
则 ， ，
二面角 的正弦值为 . ……………………15分
法二：作 于 ，作 于 ，连接 ， ……………………6分∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ， 、 平面 ，∴ 平面 ， ……………………7分
∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ， 、 平面 ，∴ 平面 ，………………………8分
∵ 平面 ，∴ ，
∴ 为二面角 的平面角， ………………………10分
， ………………………11分
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ， ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
， …………………13分
则 ，
二面角 的正弦值为 . ……………………15分
18．(本小题满分17分）已知函数 ，其中 .
(1)证明：当 时， ；
(2)若 时， 有极小值，求实数 的取值范围；(3)对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【解】（1）因为 ，
则 对任意 恒成立， ………………………1分
可知 在 内单调递减， ……………………2分
则 ， ………………………3分
所以当 时， . ……………………4分
（2）因为 ，
则 ， ………………………5分
令 ，
则 对任意 恒成立 ， ………………………6分
可知 在 内单调递增，
则 ， ………………………7分
当 ，即 时，则 对任意 恒成立，即 ，
可知 在 内单调递增，无极值，不合题意； ………………………8分
当 ，即 时，则 在 内存在唯一零点 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增， ………………………10分可知 存在极小值 ，符合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 . ………………………11分
（3）令 ，
则 ， ………………………12分
原题意等价于 对任意 恒成立，
且 ，则 ，解得 ， ………………………14分
若 ，因为 ，则 ，
则 ，
可知 在 内单调递增，则 ，即 符合题意； ……………16分
综上所述：实数 的取值范围为 . ……………………17分
19．(本小题满分17分）定义：已知数列 为有穷数列， 对任意 （ ），总存在 ，
①
使得 ，则称数列 为“乘法封闭数列”； 对任意 （ ），总存在 ，使
②
得 ，则称数列 为“除法封闭数列”，
(1)若 ，判断数列 是否为“乘法封闭数列”.
(2)已知递增数列 ，为“除法封闭数列"，求 和 .
(3)已知数列 是以1为首项的递增数列，共有 项， ，且为“除法封闭数列”，探究：数列
是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列 的通项公式.【解】（1）由题意知，数列 为： . ……………………1分
由 ， 不是数列 中的项， ………………………3分
故数列 不是“乘法封闭数列”； ………………………4分
（2）由题意数列递增可知 ，
则 ，且 ， ………………………5分
又数列 为“除法封闭数列”，
则 都是数列 中的项， ………………………7分
所以 ，即 ①；
且 ，即 ②，
联立①②解得， ； ………………………9分
（3）数列 是等比数列 ………………………10分
证明：当 时，设数列 为 ，
由题意数列 递增可知 ，
则有 ，
由数列 为“除法封闭数列”， ………………………12分
则 这 个数都是数列 中的项，所以有 ，
则有 ， ③；
同理由 ，可得 ，
则有 ，即 ④；
由③④可得， ，故 是等比数列. ………………………14分
当 时，由题意数列 递增可知 ，
则有 ， ………………………15分
由数列 为“除法封闭数列”，则这 个数都是数列 中的项.
所以有 .
所以有 ，即 ⑤；
同理由 ，可得 ，
所以 .
则 ，即 ⑥，联立⑤⑥得， ，
则 ，所以有 ，
所以 ，故数列 是等比数列.
综上所述，数列 是等比数列. ………………………17分
