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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．复数 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，故 的虚部为 ，故选：B
2．已知命题p： x∈R，x2＜x3，命题q： x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p，q ∀ B．¬p，q ∃ C．p，¬q D．¬p，¬q
【答案】B
【解析】对于命题 ：采用特殊值法，取 ，可知 为假命题， 为真命题；
对于命题 ：当 时， 成立，故 为真命题， 为假命题；故选：B.
3．如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ， ，点 为 中点，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点 为 中点，所以 ，又 ， ，
所以
故选：C.
4．某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续 次的产如下：
甲
乙
则下列结论错误的是（ ）
A．甲种水稻产量的众数为
B．乙种水稻产的极差为
C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
【答案】D
【解析】对于A选项，甲种水稻产量的众数为 ，A对；
对于B选项，乙种水稻产的极差为 ，B对；
对于C选项，甲种水稻产量的平均数为 ，
乙种水稻产量的平均数为 ，C对；
对于D选项，甲种水稻产量的方差为 ，乙种水稻产量的方差为 ，D错.
故选：D.
5．已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为 ，椭圆的长半轴长为a（ ），半焦距为
c（ ），
连接 ，则 ， ，
所以离心率 ．
故选：C
6．已知函数 ， 的图象与直线 有两个交点，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
所以当 时，由 与 有两个交点可得 的最大值为
所以则 的最大值为故选：D
7．在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知 ，则直线PA与
平面PBC所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，作 ，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设 .
因 ，则 .
因 平面PFOE， 平面PFOE，则 ，且 为PA与平面PBC所成角，
又 ， ， 平面AOE， 平面AOF，
则 平面AOE， 平面AOF.
又 平面AOE， 平面AOF，则 .
又 ， ， ，则 ，
故 ，结合 ，得 .
又 ，则 ，故PA与平面PBC所成角的正弦值等于 .
故选：A
8．已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
又 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，实数 的最小值为 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上最大值为 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递增 D．函数 的最小正周期为
【答案】BD
【解析】对于A，当 时， ， ， 最大值为2，A错误；
对于B，因为 ，则函数 的图象关于点 对称，B正确；对于C，当 时， ，函数 在 上不单调，则 在 上不单
调，C错误；
对于D，函数 的最小正周期 ，D正确.
故选：BD.
10．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点， 为线段 的中点，过点 作抛物线的切
线 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B．当 时，
C．以线段 为直径的圆与直线 相切
D．当 最小时，切线 与准线的交点坐标为
【答案】ACD
【解析】对于A，依题意可设直线 的方程为 ， ， ， ，则 ，
，
联立 ，消 整理得 ，
则 ，代入 得 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，故A正确；
对于B，结合A可得 ， ，由 ，得 ，解得 ， ，故B错误；
对于C，由题意得抛物线的准线方程为 ，焦点 ，
设 ， ， 在准线上的射影为 ， ， ，
则 ， ， ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，故C正确；
对于D，结合A可得，当 最小时，不妨取 ，
则可设切线 的方程为 ，
联立 ，消 整理得 ，
则 ，解得 ，所以切线 的方程为 ，
联立 ，解得 ， ，即切线 与准线的交点坐标为 ，故D正确．
故选：ACD．
11．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B．点 是曲线 的对称中心C． 有三个零点且三个零点的和为0
D．直线 是曲线 的切线
【答案】ABC
【解析】因为函数 ，所以 ，
令 ，
当 或 时， ， 在 上都单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
故 为函数的极大值点， 为函数的极小值点，
即 有两个极值点，A正确；
因为 ，
故点 是曲线 的对称中心，B正确；
由A可知 有两个极值点 ，且 ，
，
结合 的单调性可知函数在 各有一个零点，
即函数 有3个零点；
由于 ，故 之间的零点处于 内，
不妨设这3个零点为 ，且 ，
满足 ，
即，
故 ，C正确；
不妨设直线 是曲线 的切线，则满足 ，
则 ，即切点坐标为 ，
而 ，
说明假设不成立，即直线 不是曲线 的切线，D错误，
故选：ABC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，
则有 ,解得： ，
所以 .
13．已知 ， ，则 .
【答案】 /
【解析】由题意可知 ，
所以 ，
由题意可知 ， ，由 可得 ，
所以 .
14．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位
越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名
选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选
手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为 ，在一场比赛中高一获胜的概率为 ．
【答案】
【解析】设 为高一出场选手， 为高二出场选手，其中 表示段位，
则第一局比赛中，共有 ，共9个基本
事件，其中高一能取得胜利的基本事件为 ， ， ，共3个，
所以第一局比赛高一获胜的概率为 ，
在一场三局比赛中，共有不同的 种安排方法，
其中高一能获胜的安排方法为 ， ， ， ，
， ，共6种，故在一场比赛中高一获胜的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角A的大小；
(2)D是线段 上的点，且 ， ，求 的面积.
【解】（1）因为 ，
由正弦定理得 . ………………………1分
因为 ，所以 ，所以 ， ………………………2分即 . ………………………4分
因为 ，所以 ，即 . ………………………5分
（2）设 ，因为 ，所以 . ………………………6分
因为 ，所以 ， ， ，
在 中，由正弦定理可知 ， ………………………8分
即 ，
即 ， ………………………10分
化简可得 ，即 ， ,
所以 . ………………………13分
16．（本小题满分15分）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 既存在极大值，又存在极小值，求实数 的取值范围.
【解】（1）当 时，函数 ，
求导得 ，则 ，而 ， ………………………2分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 . ………………………4分（2）函数 的定义域为 ，
求导得 ， ………………………5分
当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上递增，在 上递减，函数 只有极大值 ，不合题意； ………7分
当 时，由 ，得 或 ， ………………………8分
①若 ，即 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
则函数 在 上递增，在 上递减，
因此函数 的极大值为 ，极小值为 ，符合题意； ………………………10分
②若 ，即 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
则函数 在 上递增，在 上递减，
因此函数 的极大值为 ，极小值为 ，符合题意； ………………………12分
③若 ，即 ，由 在 上恒成立，得 在 上递增，
函数 无极值，不合题意， ………………………14分
所以 的取值范围为 . ………………………15分
17．（本小题满分15分）如图所示，四边形 为正方形，四边形 ， 为两个全等的等腰梯
形， ， ， ， ．(1)当点 为线段 的中点时，求证： ；
(2)当点 在线段 上时（包含端点），求平面 和平面 的夹角的余弦值的取值范围．
【解】（1）因为点 为线段 的中点，且 ，
所以 ， ………………………1分
因为 ，且四边形 为正方形，故 ， ………………………2分
所以 ，而 平面 ，
故 平面 ， ………………………3分
又 平面 ，所以 ； ………………………4分
（2）设正方形 的中心为 ，分别取 的中点为 ，
设点 为线段 的中点，由（1）知 四点共面，且 平面 ，
连接 ， 平面 ，故 ，
又 平面 ，故平面 平面 ，
且平面 平面 ，
由题意可知四边形 为等腰梯形，故 ，
平面 ，故 平面 ， ………………………5分
故以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角坐标系，
因为 ，则 ， ………………………6分
又 ，故 ，
设 到底面 的距离为 ，
四边形 ， 为两个全等的等腰梯形，且 ，故 ，又 ，
故 ，则 ，
，
设 ， ………………………7分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ， ， ………………………9分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ， ， ………………………11分
故 ， ………………………12分
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
故当 时， ，当 时， ，
故 ，
即平面 和平面 的夹角的余弦值得取值范围为 ． ………………………15分18．（本小题满分17分）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且
每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，
无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为 、 、 ，假定 、 、
互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.
(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若 ， ， ，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目 的分布，并求 的期望 ；
(3)已知 ，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先
派出.
【解】（1）设事件 表示“该小组比赛胜利”，
则 ； ………………………4分
（2）由题意可知， 的所有可能取值为1，2，3，
则 ， ， ， ………………………7分
所以 的分布为：
………………………9分
所以 ； ………………………11分
（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
由（2）可知， ， ………………………12分
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
则 ， ………………………13分则
， ………………………15分
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ， ………………………16分
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． ………………………17分
19．（本小题满分17分）如图，已知曲线 ，曲线 ， 是平面上一点，若存在过
点 的直线与 都有公共点，则称 为“ 型点”.
（1）证明： 的左焦点是“ 型点”；
（2）设直线 与 有公共点，求证： ，进而证明原点不是“ 型点”；
（3）求证： 内的点都不是“ 型点”.
【解】（1） 的左焦点为 ，
过 的直线 与 交于 ，与 交于 ， ………………………2分
故 的左焦点为“ 型点”，且直线可以为 ； ………………………3分（2）直线 与 有交点，则 ，
若方程组有解，则必须 ； ………………………5分
直线 与 有交点，则 ，
若方程组有解，则必须 ………………………7分
故直线 至多与曲线 和 中的一条有交点，即原点不是“ 型点” ………………………8分
（3）以 为边界的正方形区域记为 .
1）若点 在 的边界上，则该边所在直线与 相切，与 有公共部分，
即 边界上的点都是“ 型点”； ………………………9分
2）设 是区域 内的点，即 ，
假设 是“ 型点”，
则存在过点 的直线 与 都有公共点. ………………………10分
ⅰ)若直线 与 有公共点，直线 的方程化为 ，假设 ，则
，可知直线 在 之间，与 无公共点，这与“直线 与 有公共点”矛盾，
所以得到：与 有公共点的直线 的斜率 满足 . ………………………12分
ⅱ)假设 与 也有公共点，则方程组 有实数解.
从方程组得 ，
，由 ， …………14分
因为
所以， ， …………………………16
分
即直线 与 没有公共点，与“直线 与 有公共点”矛盾，于是可知 不是“ 型点”.
证明完毕 …………………………17分
另解： …………………………9分
令 ，因为 ，所以| ，
即 .于是可知 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是 ， …………12分
因为 ，
所以 在区间 上为增函数，在 上为减函数. …………………………14分
因为 ， ，
所以对任意 ，都有 ， …………………………16分即直线 与 没有公共点，与“直线 与 有公共点”矛盾，于是可知 不是“ 型点”.
证明完毕. ……………………………17分
