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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考I卷）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根式的性质化简集合 ，即可根据交集的定义求解.
【详解】由题， 得 ，故 ，进而 ，
故选：A
2．设 ，其中 为虚数单位.则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简 ，再求出 ，令 求出相应的 的取值范围，最
后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为 ，所以 .
令 ，即 ，解得 或 ，
所以 推得出 ，故充分性成立；
由 推不出 ，故必要性不成立；所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3．已知向量 满足： ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由数量积的运算律可得 ，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】由 ，得 ，即 ，
由已知得 ，所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：A
4．已知数列 是等比数列，记数列{a }的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
n
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据数列 是等比数列，可知数列 为等差数列，由等差数列的性质求解即可.
【详解】则 为常数，所以 为常数，
知数列 为等差数列，
由 ，知 ，又 ，
所以公差 ，
故 .
故选：A
5．已知圆 与双曲线 的一条渐近线交于 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出 的关系，即可得解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
因为 ，
所以圆心 到双曲线的渐近线的距离 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即该双曲线的离心率为 .
故选：D.
6．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合正切的和角公式计算即可.
【详解】由 可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
解之得 .故选：D
7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，
在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法
数，然后由概率公式计算．
【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出
场，
方法数为 ，
在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，
即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为 ，
因此所求概率为 ．
故选：A．
8．已知函数 ，若存在三个不相等的实数 ， ， ，使 成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求导，分析函数 的单调性，画出函数 草图，数形结合可求 的取值范围.
【详解】由 ，有 ，
当 时，f'(x)<0， 单调递减，当 时，f'(x)>0， 单调递增， ，
又 时， ，
如图可知 之间存在三个不相等的实数 ， ， ，
使 成立.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正三棱台 中， ， ，且等腰梯形所在的侧面与底面 所成夹角的正切值均
为2，则下列结论正确的有（ ）
A．正三棱台 的高为
B．正三棱台 的体积为
C． 与平面 所成角的正切值为1
D．正三棱台 外接球的表面积为
【答案】BCD
【分析】将正棱台补全为一个正棱锥 ，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱
与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.
【详解】将正棱台补全为一个正棱锥 ，如下图示，
其中 分别为上下底面的中心， 为 的中点，
易知 ，则 为等腰梯形所在的侧面与底面 所成夹角，所以 ，而 ，则 ，
根据棱台上下底面相似，知 ，即 ，故 ，A错；
由 ， ，
所以 ，B对；
由图知： 为 与平面 所成角，则 ，C对；
若 为正三棱台 外接球的球心，则其半径 ，即 ，
令 ，则 ，可得 ，
所以 ，故外接球表面积为 ，D对.
故选：BCD
10．已知 是椭圆 ： （ ）位于第一象限上的一点， ， 是 的两个焦点，
，点 在 的平分线上， 的平分线与 轴交于点 ， 为原点， ，且，则下列结论正确的是（ ）
A． 的面积为
B． 的离心率为
C．点 到 轴的距离为
D．
【答案】ACD
【分析】根据中位线及椭圆的定义，利用等边三角可求出|PF |， ，再由余弦定理可得 关系，
1
即可判断B，再由三角形面积公式判断A，利用等面积法判断C，由角平分线定理求出 即可判断D.
【详解】如图，设 ， ，延长 交 于点 .
由题意知 ， 为 的中点，则 为 的中点，
又 ，所以 是等边三角形，
则 化简得 即
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ， ，所以 ， ，故B错误.
的面积为 ，故A正确.
设点 到 轴的距离为 ，所以 ，则 ，故C正确.
因为 是 的平分线，所以 ，
所以 ，
则 ，故D正确.
故选：ACD
11．定义在R上的函数 满足 ， ， .若 ，
记函数 的最大值与最小值分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为 的一个周期 B．
C．若 ，则 D． 在 上单调递增
【答案】ABC
【分析】结合已知求得 为 的一个周期，从而A正确；将等式 两侧对应函数分别求导，得 ，即可判断B正确；利用 中心对称性质求值判断C正确；根
据函数 的性质判断D错误.
【详解】由 ，将x替换成 ，得 ．
因为 ，由上面两个式子， ．
将x替换成 ， ，所以 ．
所以 ，
所以 为 的一个周期，A正确；
将等式 两侧对应函数分别求导，
得 ，即 成立，B正确；
满足 ，即函数图象关于点 中心对称，
函数 的最大值和最小值点一定存在关于点 中心对称的对应关系，
所以 ，解得 ，C正确；
已知条件中函数 没有单调性，无法判断 在 上是否单调递增，D错误.
故选：ABC．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 的展开式中 的系数为 .
【答案】
【分析】分 取1， 取 和 取 ， 取 两种情况讨论即可.
【详解】当 取1， 取 ， 的系数为 ；
当 取 ， 取 时，得 的系数为： .
所以 的系数为： .
故答案为：
13．已知函数 与函数 在公共点处的切线相同，则实数m的值为 .
【答案】0
【分析】设函数 与 的公共点为 ，由题意得 ，可求出 的值，由
即可求出 的值.
【详解】设函数 与 的公共点为 ，
则有 ，
则 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为：0.
14．如图的“心形”曲线 恰好是半圆 ，半圆 ，曲线 组合而成的，则曲线 所围成的“心形”区域的面积等于 .
【答案】
【分析】先求出两个半圆面的面积，再求曲线 与 、 轴围成的区域的面积，
根据对称性得出 与 、 轴围成的区域的面积，即可得解.
【详解】设 ，线段 的中点为 ，如图，
因为曲线 关于点 对称，
所以可将曲线 与 轴、 轴围成的区域割补为直角三角形 的区域，
于是曲线 与 轴、 轴围成的区域的面积就是直角三角形 的面积，
即 ；
根据对称性，可得曲线 与 、 轴围成的区域的面积为 ，
又曲线 所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为 ，
所以曲线 所围成的“心形”区域的面积等于 .故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的离心率
为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点， ，求直线方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用焦点坐标和离心率可求得椭圆方程；
（2）分别讨论直线斜率是否存在，联立直线和抛物线方程利用焦点弦公式可得 ，即
得直线方程.
【详解】（1）抛物线 的焦点坐标为(1,0)，所以椭圆中 ，
因为椭圆的离心率为 ，即 ，…………………………2分
所以 ， ，
所以椭圆方程为 ………………………………………………………6分
（2）当直线斜率不存在时，易知此时 ，不合题意；…………………7分
所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为y=k(x-1)，如下图所：联立 得 ，…………………9分
设 ，则 ，…………………………………10分
根据焦点弦公式可得 ，…………………………………11分
解得 ， ，
所以直线方程为 或 …………………………………………………………13分
16．（15分）在六面体 中， 平面 ， ，且底面 为
菱形.
(1)证明： 平面 .
(2)若 ， ， .求平面A B C D 与平面 所成二面角的正弦值.
1 1 1 1
【答案】(1)证明见解析(2) .
【分析】（1）先证 ， ，再根据线面垂直的判定定理证明 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的三角函数.
【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以 . …………………2分
又 平面ABCD， 平面ABCD，所以 . …………………4分
因为 ， 平面 ，
所以 平面 .………………………………………6分
（2）由题意得 ， .…………………………………………………7分
以菱形 的中心 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系
，如图所示，
则 ， ， .
所以 ， . ……………………………8分
A B C D
设平面 1 1 1 1的法向量为 ，则 ，令 ，得 . ……………………………10分
易知平面 的一个法向量为 ， ………………………11分
则 ， ……………………………13分
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .…………………15分
A B C D
1 1 1 1
17．（15分）已知数列{a }满足， .
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式；
（2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明.
【详解】（1）已知 ，
当 时， ；……………………………2分
当 时， ，……………………………4分
则 ，……………………………6分
显然 时， ，满足上式，
综上 ， ；………………………………………………………7分（2）由上知: ，……………………………9分
故 ，……………………………11分
易知 单调递增，……………………………12分
时， ，……………………………13分
又 ，即 ，证毕.……………………………15分
18．（17分）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从 腔室出发，到达 腔室，粒子从 室经过
号门进入 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从 室经过 号门进入 室后，粒子的旋转状态发
生改变的概率为 .粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从 室出发.
(1)求两粒子进入 室都为上旋状态的概率；
(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入 室后，共裂变为 个粒子，裂变后的每个粒子再经过 号门返回
室的概率为 ，各粒子返回 室相互独立.
① 时，写出返回 室的粒子个数 的分布列、期望、方差；
② 时，记有 个粒子返回 室的概率为 ，则 为何值时， 取最大值.
【答案】(1)
(2)①分布列见详解，期望 ，方差 ；
②
【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案；
（2）①根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望和方差；
②根据二项式定理即可求得最大项.【详解】（1）设 “两个粒子通过 号门后处于上旋状态粒子个数为 个”， ，
“两个粒子通过 号门后进入 室都为上旋状态”，
则 ， ，……………………………2分
……………………………3分
则 .……………………………4分
（2）①返回 室的粒子个数 的可能性为 ， ， ， ，……………………………5分
服从二项分布 ：……………………………6分
， ，
， ，
，……………………………8分
所以期望 ，……………………………9分
方差 ；……………………………10分
② 的可能取值为 ，此时 ，……………………………11分
个粒子返回 室的概率为 ，……………………………13分
则 ……………………………14分故 ，
所以 ，……………………………16分
当 时， 取最大值.……………………………17分
19．设 是定义域为 的函数，当 时， .
(1)已知 在区间 上严格减，且对任意 ，有 ，证明：函数 在区
间 上是严格减函数；
(2)已知 ，且对任意 ，当 时，有 ，若当 时，
函数 取得极值，求实数 的值；
(3)已知 ，且对任意 ，当 时，有 ，证
明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；
（3）利用题目条件，代入，分 和 两种情况进行讨论即可证明.
【详解】（1）不妨设 ， 在区间 上严格减，
对任意 ，有 ，……………………………1分又 ，……………………………3分
函数 在区间 上是严格减函数；……………………………4分
（2）由（1）可知： 在区间 上严格增时， 在区间 上是严格增，
当 在区间 上严格减时， 在区间 上是严格减，……………………………5分
又当 时，函数 取得极值，当 时，函数 也取得极值，
因为 . 是函数 的极值点，……………7分
所以 是 的根，所以 ，……………8分
当 时， .……………10分
令h'(x)>0，解得 或 ，
所以h(x)在 上单调递增，在 上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
满足条件，所以 .……………………………………………12分
（3）当 时，
由条件知 ，………………………13分
………………………14分
当 时，对任意 ，有 ，
即 ，……………15分
又 的值域是 ， ，当 时，对任意 ，有 ，
， ………………………………………………………16分
又 的值域是 ， ，
综上可知，任意，.………………………………………………………17分
