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【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】联立 ，得 ，所以 .故选C
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于不等式 的解集为 ，则 可推出 ，反之不成立，所
以“ ”是“ ”的充分而不必要条件．故选：A.3． 的展开式中常数项为（ ）
A． B．160 C．80 D．
【答案】A
【解析】 展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，故 展开式的常数项为 .
故选：A.
4．若底面半径为r，母线长为 的圆锥的表面积与直径为 的球的表面积相等，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆锥的表面积为 ，球的表面积为 ，
故 ，即 ，故 （负舍）.
故选：D.
5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
即 ，
，两式相加可得 ，
所以 .
故选：A
6．已知火箭在 时刻的速度为 （单位：千米/秒），质量为 （单位：千克），满足
（ 为常数）， 、 分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量
千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为 ，经过 秒后的速度 千米/秒，
此时火箭质量 千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（ ， ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题意知，火箭在 时刻的速度为 ，质量为 ，满足 ，
因为经过 秒后的速度 千米/秒，此时火箭质量 千克，
可得 ，火箭耗尽燃料时速度为 ，
两式相除得 .
故选：C．
7．已知函数 ，若函数 有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】令 ，故 ，
画出 与 的图象，
函数 有3个零点，即 与 图象有3个不同的交点，
则 ，解得 .故选D
8．已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C
交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可知： ，则 ，
不妨取一条渐近线为 ，则 ，
联立方程 ，解得 ，由对称性可知：点 为线段 的中点，
则 ，
即 ，解得 ，则 ，
所以C的离心率为 .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 ， 为复数，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ， ，其中 ， ， ， ，且 ， ，则
B．若 （ ）为纯虚数，则
C．若关于 的方程 ， ， 的一个虚根为 ，则
D．若 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】BD
【解析】对于选项A：因为 ，可知 ， 不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误；
对于选项B：若 （ ）为纯虚数，
则 ，解得 ，故B正确；
对于选项C：若关于 的方程 ， ， 的一个虚根为 ，
则另一个虚根为 ，
可得 ，所以 ，故C错误；
对于选项D：若 ， ，则 ，复数 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限，故D正确；
故选：BD.
10．已知 ， ，若函数 的图象关于 对称，且函数 在
上单调，则（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C． 为偶函数 D．
【答案】BC
【解析】由题设 的图象关于 对称，
可得 ，所以 ，
由 ， ，可得 ，
又由函数 在 上单调，所以 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，可得 的最小正周期为 ，所以A不正确；
由 ，所以B正确；
由 ，所以C正确；
由 ，所以D错误．故选：BC.
11．“大鹏曲线”的方程为 ，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线 与
C的交点可能个数的集合记为 ，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．“ ”的充要条件是“ 且 ”
D．“ ”的充分条件是“ ， 或 ”
【答案】BD
【解析】当 时，曲线为双曲线 ，渐近线方程为 ，当 时，曲线为椭圆
，
对于A， 恒过点 ，
当直线 时，此时直线 与渐近线平行，直线与C的交点为1，
当 时，直线与C的交点为1，当 时，直线与C的交点为2，故 ，A错误，
对于B， 恒过点 ，
联立 与椭圆 得 ，
则 ，
当 时，此时 ，故直线与下半椭圆相切，结合图象可知：当直线 时，直线与C的交点为2，
故 时，直线与C的交点为1，
当 时，直线与C的交点为0，
当 或 时，直线与C的有1个交点，
当 时，直线与C的交点为2，
故 ，B正确，
对于C，取 ，由B可知直线与C的交点为1，故 且 不能得到 ，故C错
误，
对于D，当 时，此时直线 ，此时直线恒过点 ，
当 时，直线与渐近线平行且经过 ，此时与C有2个交点，
当 时，直线与C有1个交点，
当 时，与C没有交点，
当 时，与C有1个交点，
当 时，此时直线方程为 ，与 联立可得 ，解得 ，此时直线与下半椭圆相切，只有一个交点，
故当 ，此时直线与C没有交点，
故 ， 或 时， ，故D正确，
故选：BD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有：
流水线1 流水线2 流水线3 总计
方差 0.825 0.634 0.810
均值 9.0 9.4 9.2
则流水线2的均值为 ，流水线3的标准差为 ．
【答案】
【解析】根据题意，设三条流水线的产量为 ，流水线2的均值为m，
则 ，解得 ，
设流水线3的方差为 ，则
，
解得 .
13．已知a，b， ，二次函数 有零点，则 的最小值是 ．【答案】
【解析】因为a，b， ，设 ，则 ，
二次函数 有零点，
则 ，可得 ，
设 ，
显然 ，可知 在 内单调递增，
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
即 ，所以 的最小值是 .
14.在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 ， ．若 ，
则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ,
所以 ， ，故 ，
又因为三角形为锐角三角形，所以 ,所以
，
因为三角形为锐角三角形
所以 ，即 ，
所以
所以
所以 .
所以 取值范围是 ，
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）在三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ，
的中点， ．
(1)求证： ；(2)若 ，求二面角 的正弦值．
【解】（1）如图，连接 ，取 中点为 ，连接 ， ，……………………1分
因为 ，所以 ，
因为 ， 为 ， 的中点，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ……………………3分
又因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ； ……………………5分
（2）因为 ，在 中， ，
所以 ，又 平面 ，故 平面 ，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ……………………7分
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
则 ，
令 ，解得 ，故 ， ……………………9分，
令 ，解得 ， ，故 ， ……………………11分
设二面角 的平面角为 ，
则 ， ……………………12分
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ． ……………………13分
16．(本小题满分15分）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投
入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3
分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
(2)求该生两次投篮得分 的分布列及数学期望．
【解】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，
“不能入篮”分别记为事件 ， ， ，
由题意知 ， ， ， ……………………13分
因为每次投篮为相互独立事件，
故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为 .……………5分
（2）两次投篮后得分 的可能取值为0，2，3，4，5，6,
由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，
表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0，
则 ； ……………………6分表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮，
则 ； ……………………7分
表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，
则 ； ……………………8分
表示两次都是踩线及3分线内侧投入，
则 ； ……………………9分
表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入，
则 ； ……………………10分
表示两次都是3分线外侧投入，则 ， ……………………11分
故 的分布列为
0 2 3 4 5 6
…………………13分
所以 ……………………15分
17．(本小题满分15分）已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，短轴长为 ，且
经过点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 （不与 轴重合）与 交于 两点，直线 与直线 的交点分别为 ，记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【解】（1）因为 ，所以 ， ……………………1分
再将点 代入 得 ， ……………………2分
解得 ， ……………………3分
故椭圆 的方程为 ； ……………………4分
（2）由题意可设 ，
由 可得 ，
易知 恒成立，所以 ， ……………………7分
又因为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，则 ，故 ， ……………………9分
同理 ， ……………………10分
从而 ， ……………………12分
故 为定值……15分18．(本小题满分17分）已知曲线 在点 处的切线为 ．
(1)求直线 的方程；
(2)证明：除点 外，曲线 在直线 的下方；
(3)设 ，求证： ．
【解】（1）因为 ，
所以 ， ……………………2分
所以直线 的方程为： ，即 ……………………4分
（2）令 ，
则 ， ……………………5分
令 ，则 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ……………………7分
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 等号成立，所以除切点 之外，曲线 在直线 的下方． ……………………9分
（3）由 ，解得 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ……………………11分
当 时， ．
因为 ，则 ，不妨令 ．
因为曲线 在 点的切线方程为 ， ……………………12分
设点 在切线上，有 ，故 ，
由（1）知 时， ，
则 ，即 ，
要证： ，
只要证： ，
只要证： ，
又 ，
只要证： ， ……………………15分令 ，
则 ，
易证 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 成立，
所以原命题成立． ……………………17分
19．(本小题满分17分）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 和 ，定义和集
，用符号 表示和集 内的元素个数.
(1)已知集合 ， ， ，若 ，求 的值；
(2)记集合 ， ， ， 为 中所有元素之和， ，求
证： ；
(3)若 与 都是由 个整数构成的集合，且 ，证明：若按一定顺序排列，
集合 与 中的元素是两个公差相等的等差数列.
【解】（1）由题： ， ……………………1分
所以 ， ， 且 ， ……………………2分
从而 ， ， ，故 . ……………………3分
（2）若 ， ， ， ，使 ，
其中 ， ， ， ，
则 ，故 ， . ……………………5分
，，…………………7分
.…………9分
（3）设集合 ， ，
其中 ， .
则 ，
这里共 个不同元素，又 ，
所以上面为和集 中的所有元素. ……………………11分
又 ，
这里共 个不同元素，也为合集 中的所有元素，
所以有 ，即 . ……………………13分
一般地，由 ，
，
可得 ，即 .
同理可得 ，得证. ……………………17分
