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高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C D D B A A D B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
3
11．64 12． /1.5 13． 15
2
14． 15. ①③
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
（1）因为
.
所以 .
（2）由 ，
所以 或 ，所以 或 ，
又因为 为锐角三角形，所以 .
由余弦定理： .又 ，所以 （当且仅当 时取“
”），
此时， 的周长取得最大值，为 .
17.（14分）
（1）由题意可知，当 时， 个周期结束后 细胞数量为 个,
则设第 个周期分裂为 个细胞，之后一直保持为 个 细胞，
第一个周期分裂为 个细胞，后面两个周期均保持为 个细胞，
故 ,
第二个周期分裂为 个细胞，后面一个周期保持为 个细胞，
故 ,
前两个周期都保持为 个细胞，第三个周期分裂为 个细胞，
故 ，
综上可知， .
（2） 个周期结束后， 的取值可能为 ,
其中 ,
，
， ，
所以 分布列为.
18.（14分）
（1）取 的中点 ，连接 ， .
因为点 为 的中点，所以 ， .
因为四边形 是平行四边形，
所以 ， .
因为点 为线段 的中点，所以 ．
所以 ， .
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）选择条件①②：
连接 ，因为 平面 ，直线 平面 ，
则 ，即 .
因为 ， ，所以 .
因为 ，四边形 是平行四边形，
所以 ，且 ，又 ，所以 .
所以 ，即
所以 .
如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ．
由题意得 ， ， ， ， ．
所以 ， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则
，即 .
令 ，则 ，所以 .
（ⅰ） ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
则直线 到平面 的距离为 .
（ⅱ）因为 是平面 的一个法向量，
，又由图可知二面角 是锐角，
所以二面角 的余弦值为 ；
选择条件①③：
连接 ，因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
则 ， ，即 .
因为 ， ，所以 .又因为平面 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
由四边形 是平行四边形，则四边形 是矩形.
因为 ，所以 .
以下同选择条件①②.
若选择条件②③，四棱锥 不能唯一确定.
举例如下：
由上述选择①②与①③的求解可知，
如上图所示的 两两垂直的四棱锥 满足题意；
下面构造一个不同的四棱锥：
如图，四棱锥 中，平面 平面 ，
则向量 空间中不共面的三个向量，
，且 ， ，
则由三面角余弦定理知，
，
由四边形 为平行四边形可知， ，
故 ，
则，
故也满足条件 .
综上所述，如图所示的四棱锥 也满足题意，
即满足题意的四棱锥不能唯一确定.
19.（15分）
（1）由题意可设 ，且 ，
则 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）当 ，不妨取 ，满足曲线的方程 ，
则 的方程为 ，可得 ，
此时可得 ，又 ，故 ；
当 不垂直于 时，设 ，则直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
所以 ，则 ，
故 ，
又 ，
故 ，
即 ，所以 ，
综上所述： .
20.（15分）
（1）由题意 ，可得
（2）由题意 的定义域为 ，
，
当 时， ，故 在区间 上单调递增，
当 时，令 得 ，
当 时， ，当 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， ，当 时，f'(x)>0，
故 在区间 上单调递增，
当 时， ，当 时，f'(x)<0，当 时，f'(x)>0，故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
综上所述：
当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（3）由 得 ，即 ，
设 ， 则由题意 在 上恒成立，
， 设 ，
则 ，
若 时， ，
当 时， ， ，故 ，
故 在区间 上单调递增，故 ，即 ，
故h(x)在区间 上单调递增，故 ，满足题意.
若 ，设 ，则 ，
则 在区间 上单调递增，故 使当 时， ，
因 ，故在区间 上 ，即h'(x)<0，
故h(x)在区间 上单调递减，故在 上 ，不符合题意综上可知，实数 的取值范围为 .
21.(15分）
（1）根据“ 数列”的定义，则 ，故 ，
因为 成立， 成立，
不成立，
所以1，3，5，10，152不是“ 数列”．
（2）由 是首项为2的“ 数列”，则 ， ，
由{b }是等比数列，设公比为 ，
n
由 ，则 ，
两式作差可得 ，
即 ，
由 是“ 数列”，则 ，对于 ， 恒成立，
所以 ，
即 对于 ， 恒成立，
则
解得， ， ，又由 ， ，
则 ，即 ，
故所求的 ，数列{b }的通项公式 ；
n（3）证明：要证 ， 即证 ，
因数列 是“ 数列”，则 .
则要证 ，即证 .
又 ，对于 ， 恒成立，
因为 ， ，则 ，再结合 ， ， ，
反复利用 ，可得对于任意的 ， ， ，
则要证： ，即证 .
设函数 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时，f'(x)<0，则 在区间 单调递减，
因对于任意的 ， ， ，则 .
即 ， ，…， ，
相加可得 ，即 ，故命题得证.
