文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C B A D B B D A B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10． 11． 12． 13．
14． 15． 2
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（15分）
【详解】（1） ，由正弦定理得，
，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ；
（2） ，由正弦定理得 ，即 ，
如图所示， 为 的中点，故 ，
由（1）可知， ，延长 至点 ，使 ，故 ，
连接 ，延长 ， 相交于点 ，
因为 ，所以 ≌ ，
故 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，且 ，
故 为等边三角形，
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
故 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
故 ，
所以 .
17．（15分）
【详解】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ.
因 为 的中点， 为 的中点，Q为GD中点，
由三角形及梯形中位线定理，可得 .
又注意到， 平面EDC， 平面EDC，平面MNQ， ，则平面 平面 .
又 平面MQN，则 平面 .
（2）因 平面ABCD， 平面ABCD，
则 ，又 ，则如图建立以D为原点的空间坐标系.
则 .
.
设平面 和平面 的法向量分别为 .
则 ，取 ；
，取 .
设平面 和平面 夹角为 ，则 .
则平面 和平面 夹角的正弦值为 .
（3）由（2），设 ，其中 ，则
又由题可得，平面 的一个法向量可取 .
结合直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
则 ， .
设平面 法向量为 ，则 .取 ，则点 到平面 的距离 .
18．（15分）
【详解】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为
因为 ，
由 ，得
即 ，易知 ，可得
由 ，得 ，即
由 ，可得
所以可得 ， ；
即数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .（2）由 可得
即 ，
即 ，
两边同乘以 得
上述两式相减得
整理得 ， .
19．（15分）
【详解】（1）由题意可知： ， ，设 ，由题意可知： 在第一象限，且
，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）设 ，则 ，
所以
∴ 为定值
（3）由（1）， ，所以椭圆方程为： ，， ，设 的外接圆的圆心坐标为 ，由 ，得
，
求得 ，
∴ ，切线斜率为： ，
切线直线方程为 ，即 代入椭圆方程中，得 ，
， ， ，
∴ ，
到直线 的距离 ， 的面积为 ，
所以有 ，∴ ，椭圆方程为： ．
20．（15分）
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
则 ，定义域为 .
令 ，解得： .
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
则当 时， 有极大值 ，无极小值；（2）依题意 对 恒成立，等价于 对 恒成立.
令 ，则
令 ,则 在 上是增函数，
，
所以 ，使 即
对 ， ， ，所以 在 上单调递增；
对 ， ， ，所以 在 上单调递减.
所以 .
所以 .
又 ，所以整数 的最小值2
（3）当 时， ，
令 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减且
， 时， ； 时， ；
依题意存在 使得 ，
已知 可得 ，要证 成立，因为 ， 是 的零点，所以 ，
两式相减得： ，
即 ，
要证 ，只需证 ，
又因为 只需证 ，
即证 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 在 增函数，所以 即 .
即 成立.
所以原不等式得证.
