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第十章 二元一次方程组全章题型总结【7 个知识点 14 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 二元一次方程的概念】
概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
【题型1 二元一次方程组的概念】
1
【例1】方程2x− =0，3x+y＝0，x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（ ）
y
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【例2】若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2 1
【变式1】下列方程：①x+y；②x+ =3；③3x+1=8 y+ ；④xy＝5；⑤x+ ＝5中，是二元一次
y 2
π方程的是 （只填序号）．
【变式2】已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．1
【变式3】若方程（m+2n）x|m|+n＝3yn+2+4是二元一次方程，则mn的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【知识点2 二元一次方程的解】
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程
{x＝a¿¿¿¿
的解通常表示为 的形式.
【题型1 二元一次方程的解】
{x=a)
【例1】如果 是方程x﹣3y＝﹣3的一组解，那么代数式5﹣2a+6b的值是（ ）
y=b
A．8 B．5 C．11 D．0
【例2】关于x，y的方程2x+3y＝17的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】已知关于x，y的二元一次方程2x﹣y+3+a（3x+y﹣8）＝0，不论a取何值时，方程总有一组固定
不变的解，这组解为 ．
{x=−2) 12 3
【变式1】若 是方程2nx+5y＝4的一个解，则代3m− n+ 的值是（ ）
y=m 5 5
7 6
A．3 B． C． D．﹣3
5 5
【变式2】二元一次方程2x+5y＝40的非负整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【变式3】关于x，y的二元一次方程（3+2m）x+（m﹣2）y+9﹣m＝0，不论m取何值，方程总有一组固定
不变的解，这组解为 ．
【变式4】关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1，对于任意一个满足
条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为 ．【知识点3 二元一次方程组的概念】
概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程
组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组 .
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为 （其中 ， ， ， 不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“ ”表示同时满足，相当于“且”的意思．
【题型3 二元一次方程组的概念】
{ x+ y=5 ) { x+ y=2 ) { xy=1 )
{1
+
1
=1) {x=1)
【例1】在下列方程组：① ，② ，③ ，④ x y ，⑤
3 y−x=1 3 y−x=1 x+2y=3 y=1
x+ y=1
中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤
【变式1】下列方程组中属于二元一次方程组的是（ ）
{x−3 y=5) {xy+1=0) { x+ y=6 ) { x=6 )
① ，② ，③ ，④ ．
2x= y−1 x= y y+1=z+4 2y+x=3
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
{x+ y=2)
【变式2】若方程组 是二元一次方程组，则“……”可以是（ ）
⋯⋯
1 1
A．x2﹣1＝0 B．±3 C． + =2 D．4x＝y
x y
【变式3】若方程{x|m|+1+ y=0)是二元一次方程组，那么m的值（ ）
2x−my=3
A．0 B．1
C．2 D．上述选项都不对
【知识点4 二元一次方程组的解】
概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方
程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
{2x+y=5¿¿¿¿
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无解，而方程组
{x+y=−1¿¿¿¿
的解有无数个.
【题型4 由二元一次方程组的解求值】
{2ax+by=3) { x=1 )
【例 1】已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解为 ，则代数式 2a﹣4b 的值是
ax−by=1 y=−1
（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
{ 3x−2y=3a )
【变式1】若关于x，y的二元一次方程组 的解x和y的值满足x＝﹣y，则a的值是（
−2x+3 y=a−8
）
A．﹣2 B．2 C．﹣0.5 D．0.5
{x=2) {2mx+ny=6)
【变式2】已知 是二元一次方程组 的解，则m+n的值是（ ）
y=1 mx−ny=4
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
{ 3x−5 y−2m=0 )
【变式3】关于x，y的方程组 的解x、y互为相反数，则m的值为 ．
2x+10 y−m+18=0
【题型5 二元一次方程组的整数解】
{ x+2y−6=0 )
【例1】已知关于x，y的方程组 ，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的
x−2y+mx+5=0
值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3
{kx+ y=7)
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组 有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（
3x−y=0
）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15{ x+2y−6=0 )
【变式2】已知关于x，y的方程组
x−2y+mx+5=0
（1）若方程组的解满足x+y＝0，则m＝ ．
（2）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，m＝ ．
{ x+2y=6 )
【变式3】已知关于x，y的方程组 ．
2x−2y+mx=8
（1）请写出方程x+2y＝6的所有正整数解．
（2）如果方程组有整数解，求整数m的解．
【题型6 根据二元一次方程组的解的情况求值】
{ x+ y=1 )
【例1】如果关于x，y的方程组 无解，则k值为（ ）
(2k−1)x−y=3
1
A．﹣1 B．0 C． D．2
2
{ x+ay−1=0 )
【例2】关于x，y的方程组 有无数组解，则（ ）
bx−2y−1=0
A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1
{y=2x−1)
【变式1】若关于x，y的二元一次方程组 无解，则a的值是 ．
y=ax+2
{ 4x+my=12 )
【变式2】若关于x，y的方程组 有无数组解，其中m、n不为0，则mn＝ ．
(m+n)x−2y=6
{ 1 x+ y=a )
【变式3】关于x，y的方程组 2 只有唯一的一组解，那么a的取值为 ．
|x|−y=1
【知识点5 三元一次方程组的概念与解】
定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未
知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程
组.
【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
【题型7 三元一次方程组的概念与解】
【例1】下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）{
x−y=1
)
A． 3−xy−z=6
2x−y+z=0
{x2−3z=1)
B．
y−z=5
2x+z=0
{x−z=0
)
C． y−z=2
x+ y=5
{2x+ y=0
)
D． a+4b=2
x+b=5
{ 4x+3 y+z=7 )
【例2】已知x，y，z满足 ，则2x+y﹣z的值为（ ）
2x−3 y−13z=−1
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）
{
x=5
)
A． x+ y=7
x+ y+z=6
{x+ y=3
)
B． y+z=4
z+x=2
{
4x−9z=17
)
C． 3x+ y+15z=18
x+2y+3z=2
{x+ y−z=5
)
D． xyz=1
x−3 y=2
{ x+ y+z=7 )
【变式2】已知实数x，y，z满足 ，则代数式3（x﹣z）+1的值是（ ）
4x+ y−2z=2
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
{ x−y+4z=1 )
【变式3】若实数x，y，z满足 ，则x+y+6z＝（ ）
x−2y+3z=3
A．﹣3 B．0
C．3 D．不能确定值【知识点6 解二元（三元）一次方程组】
1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变
y=ax+b x=ay+b
成 （或 ）的形式；
②将
y=ax+b
（或
x=ay+b
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去 y（或x），得到一
个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入
y=ax+b
（或
x=ay+b
）中，求y（或x）的值；
{
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有
一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两
个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
{
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
3.解三元一次方程组的一般过程：
①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，
得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
【题型8 解二元（三元）一次方程组】
【例1】解下列方程组：{ y=x+3 )
（1） ；
7x+5 y=9
{x−1
−
y−1
=1)
（2） 3 6 ．
2x+ y=13
{
x+ y+2z=7
)
【例2】解方程组： 2x+ y+z=9 ．
x−2y−z=−2
【变式1】解下列方程组：
{3x+2y=120)
（1） ；
y=3x+6
{ 3x+ y=22 )
（2） ．
4(x+ y)−5(x−y)=2
【变式2】解下列方程组：
{4x−3 y=5)
（1） ；
2x+ y=5
（2） { x+ y + x−y =6 ) ．
2 3
4(x−y)=3(x+ y)
3 1
【变式3】在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x= 与x= 时，y的值
2 3
相等．求a、b、c的值．
【题型9 换元法解方程组】
【例1】若方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解是{x=1)，则方程组{3a
1
x+2b
1
y=3c
1
)的解是（ ）
a x+b y=c y=2 3a x+2b y=3c
2 2 2 2 2 2
1 2
{x= ) {x= )
A． 2 B． 3
2 1
y= y=
3 2
{x=1) {x=3)
C． D．
y=3 y=1
【变式 1】已知关于 x，y 的方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解是{x=2.1)，则关于 x，y 的方程组
a x+b y=c y=4.5
2 2 2{a (x−2)+5b y=2c )的解是（ ）
1 1 1
a (x−2)+5b y=2c
2 2 2
{x=4.1) {x=4.2)
A． B．
y=1.8 y=4.5
{x=6.2) {x=6.2)
C． D．
y=1.8 y=3
{5x+3ay=16) {x=6)
【变式 2】若关于 x，y 的方程组 （其中 a，b 是常数）的解为 ，则方程组
−bx+4 y=15 y=7
{5(x+1)+3a(x−2y)=16)的解为（ ）
−b(x+1)+4(x−2y)=15
{x=6) { x=5 )
A． B．
y=7 y=−1
{x=5) {x=5.5)
C． D．
y=1 y=−1
{ax+by=3) {x=−5)
【 变 式 3 】 已 知 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组 的 解 为 ， 且
cx+dy=4 y=1
{a(3m+n)+b(m+3n)=3)，则（m+n）2025的值为 ．
c(3m+n)+d(m+3n)=4
【题型10 解方程组中的同解与错解问题】
{2x+5 y=−26) {3x−5 y=36)
【例1】关于x、y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解．
ax−by=−4 bx+ay=−8
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求（2a+b）2024的值．
{ax+5 y=15) {x=−3)
【例2】在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为 ．乙看错
4x−by=−2 y=−1
{x=5)
了方程组中的b，而得解为 ．
y=4
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么；
（2）求出原方程组的正确解．
{ax+5 y=15①) {x=−3)
【变式1】乐乐，果果两人同解方程组 时，乐乐看错了方程①中的a，解得 ，
4x=by−2② y=−1果果看错了方程②中的b，解得
{x=5)
，求a2024+(−
b
)
2025
的值．
y=4 10
{mx+2ny=4) { x−y=4 )
【变式2】已知关于x，y的方程组 与 有相同的解．
x+ y=2 nx+(m−1)y=3
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）若（1）中的解也是关于x，y的方程（3﹣a）x+（2a+1）y＝3的解，求a的值．
【知识点7 二元一次方程组解决实际问题】
①设:弄清题意和题目中的数量关系,设出未知数;
②找:找出题目中的两个等量关系:
③列:根据找出的两个等量关系列出方程组;
④解:解方程组;
⑤检:检验所得的解是不是方程组的解,检验是否符合题意;
⑥答:写出答案(包括单位).
【题型11 二元一次方程组的应用】
【例1】如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影
部分的面积是（ ）
A．16 B．44 C．96 D．140
9 2
【例2】甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经 小时相遇．如果甲比乙先出发 小
5 3
3
时，那么在乙出发后经 小时两人相遇．则甲的速度为（ ）千米/小时．
2
A．2 B．4.5 C．5 D．5.5
【例3】《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，
大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个
馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（ ）{
x+ y=100
)
A． 1
3x+ y=100
3
{
x+ y=100
)
B． 1
x+3 y=100
3
{ x+ y=100 )
C．
3x+ y=100
{
x+ y=100
)
D． 1
x+ y=100
3
【变式1】小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看
见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一
个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
【变式2】某工厂有m名工人，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件，其中某产品每套由4
个A型零件和3个B型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的
零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则m的值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【变式3】2025年亚足联U﹣20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一，比赛于 2025年2月12
日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛
制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得一1分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5
场总共得14分，那么该队负了（ ）
A．2场 B．3场 C．4场 D．5场
【变式4】《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容
几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为
2斛．问大、小容器的容量各是多少斛？”（ ）1 1 13 7
A．5、3 B．2、1 C． 、 D． 、
2 6 24 24
【变式5】已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为 20km/h，下
坡时速度为35km/h，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小
时，那么甲乙两地的公路长（ ）
A．300km B．210km C．200km D．150km
【题型12 二元一次方程组的应用（方案选择）】
【例1】【问题情景】
南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看
着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租
赁方案．
【调研发现】
市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型
采摘设备每小时采摘沃柑的数量的 2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑 28
亩．
【解决问题】
（1）设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩．
请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑 亩；
3台小型采摘设备每小时采摘沃柑 亩．
（2）大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？
（3）由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两
种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满 10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设
备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案．
【变式1】项目化学习
项目主题：确定最省钱的租车方案
项目背景：为迎接“七•一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往武乡革命纪
念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动．
数据收集：
①七八年级师生共485人，交通费支出预算为9000元．
②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55
个座位．③下表是该公司租车记录单上的部分信息：
租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用
3 2 3800
1 3 3600
问题解决：利用以上数据完成下列问题．
（1）根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元．
（2）该学校本次研学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租
车方案．
（3）是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案，并说明理由；如果不存在，
请计算至少要追加多少预算金额．
【变式2】某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上
涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%．
购进的台数 购进所需要
的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
（1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
（2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为 2800元，第二次
购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得
的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
【变式3】某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2
的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．
（1）根据题意可列出以下表格：1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器
长方形铁片的数量 4张 a张
正方形铁片的数量 b张 2张
则a＝ ，b＝ ；
（2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片
刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？
（3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店
老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选
择？
【变式4】根据如表素材，探索解决任务．
新年礼盒生产方案的设计
素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套．
素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套；
乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套．
问题解决
任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各
生产多少万套？
任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙
种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为 368万
元，请问该工厂有几种生产方案？
任务3 在任务2的条件下写出所有可行的生产方案．
【题型13 二元一次方程组中多结论问题】
{x−y=3−4a)
【例1】已知关于x、y的二元一次方程组 ，给出下列结论：
x+2y=5a
1
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，a=− ；
2
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2+4a的解；
③无论a取什么实数，3x+y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝5﹣3x．
其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
{x−2y=2k
)
【变式1】已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k＝2时，方程组的解也是方程3x+y
2x+ y=k+1＝5的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，3x+4y的值始终不变；④若2x+3y＝3，
则k＝8．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
{x+2y=5−2m)
【变式2】已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
x−y=4m−1
①当m＝1时，方程组的解也是x+y＝2m+1的解；
②无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y均为正整数的解只有1对；
④若2x+y＝8，则m＝2．
正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
{2x−y=3k−2)
【变式3】已知关于x和y的方程组 （k为常数），得到下列结论：
2x+ y=4−k
①无论k取何值，都有4x+y＝5；
②若k＝1，则（2x﹣1）y＝1；
③方程组有非负整数解时，k＝1；
7
④若x和y互为相反数，则k= ，其中正确的个数为（ ）
3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型14 二元一次方程组中新定义问题】
【例1】定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，
得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a．
（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 ；
{x=−1)
（2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ；
y=2
（3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”
组成的方程组的解恰好是关于 x，y的二元一次方程 mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p
（n+p）+2025的值．
【变式1】定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之
一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c的“交换系数方程”为cx+by＝a或ax+cy＝
b．
（1）方程3x+2y＝4的“交换系数方程”为 ；（2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方
程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求m+p+n+2024的值；
（3）已知m，n，t都是整数，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）
x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求9m﹣n的值．
【变式2】对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣
1，2 1＝4． ⊗
（1）⊗求a，b的值；
（2）若x*y+x y＝10，求x的值；
⊗ {x∗y=8+m)
（3）若关于x，y的方程组 的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值；
x⊗y=5m
（4）若关于 x，y 的方程组{a
1
x∗b
1
y=c
1
)的解为{x=12)，直接写出关于 x，y 的方程组
a x⊗b y=c y=5
2 2 2
{4a (x+ y)∗5b (x−y)=3c )的解．
1 1 1
4a (x+ y)⊗5b (x−y)=3c
2 2 2
【变式3】规定：形如关于x、y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中
{x+ky=b)
k≠1；由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组．
kx+ y=b
（1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于x、y的方程组{ x+(1−a)y=b+2 )为共轭方程组，则a＝ ，b＝ ；
(2a−2)x+ y=4−b
（3）若方程x+ky＝b中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ；
x ﹣1 0
y 0 2
{2023x+2024 y=8094)
（4）拓展：求共轭方程组 的解．
2024x+2023 y=8094
