文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷03·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C C B D C C C B B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． /-0.5 13．2 14． / 15．①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）设 ， 交于点O，连接 ， ， ，易证 ，可得 ，得
，又 ，得证；
（2）易证 为等边三角形，可证 平面 ，可得 ， ， 两两互相垂直，建系利用
向量法求解即可.
【详解】（1）证明：设 ， 交于点O，连接 ， ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
又因为O为正方形的对角线交点，即O是线段 的中点，
所以 ，
又因为四边形 为正方形，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）
∵底面 是正方形， ，
∴ ， ，
又 ， ，
∴ 为等边三角形，
∵O为 中点，∴ ，
又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ ， ， 两两互相垂直，
以 ， ， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
∴ ， ， ，
所以
，，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
∴ ，
取平面 的法向量 ，
设平面 与平面 所成夹角为 ，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
17．(1) ；(2)答案见解析
【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理，进行边角转化即可求解.
（2）依次对每一个条件进行分析，选出符合题意的条件进行求解即可；通过分析发现条件①、④均不满
足题意，条件②、③满足题意，故可从条件②、③中二者任选其一即可求解；若选条件③，则可以先得出
，，由正弦定理、两角和差公式分别得出 的值即可求解；若选条件②，则可以先结合余弦定
理唯一确定 ，此时 的三条边唯一确定，即此时 存在且唯一确定，由此即可求解.
【详解】（1）由已知 ，
由正弦定理边化角得 ，整理得 ，由余弦定理得 ，
又因为 为 的内角，即 ，
所以 .
（2）条件①、④均不满足题意，条件②、③满足题意，故可从条件②、③中二者任选其一即可求解；
现在我们来说明理由，首先由（1）可知 ：
若选择条件④： ， ；
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
注意到 ，
所以此时 有两种取值，即此时 存在但不唯一确定，故条件④不满足题意.
若选择条件①： ， ；
注意到 ，
又函数 在 上单调递减，所以 ，
但此时 ，这与三角形内角和定理矛盾，故条件①不满足题意.
若选择条件③： ， ；
注意到 ，且 ，则 或 ，
但是当 时，有 ，这与三角形内角和定理矛盾，
所以只能 ，一方面：此时有由正弦定理有 ，即 ，解得 ；
另一方面：此时 ；
如图所示：
此时 存在且唯一确定，若D是 边上的中点，
则此时 的面积为 ；
故若选择条件③，则满足题意.
若选择条件②： ， ；
在 中运用余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，
又注意到 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，
所以 ，即 ，
结合 可知，此时 ，
注意到此时 ，所以由勾股定理逆定理可知 ；如图所示：
此时 存在且唯一确定，若D是 边上的中点，
则此时 的面积为 ；
故若选择条件③，则满足题意.
综上所述：条件①、④均不满足题意，条件②、③满足题意，故可从条件②、③中二者任选其一即可求解.
18．(1)① ；② ；(2)
【分析】（1）①分析 第一轮比赛后所在组，再确定后续比赛的胜负情况使A获得季军，应用独立事件
的乘法公式求概率即可.
②分D首场笔试胜利和失败两种情况讨论，由全概率公式可得.
（2）可通过分类把复杂事件分为几个容易分析的事件，再解决问题.
【详解】（1）假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为 ，
①由题意，第一轮比赛 一组， 一组，
要A获得季军，则 进入胜者组，后续连败两轮，或 进入负者组，后续两轮先胜后败，
所以A获得季军的概率为 .
②设 表示队伍D在比赛 中胜利， 表示队伍D所参加的比赛 中失败，
事件 ：队伍D获得亚军有三种情况： ，
得
（2）由题意，A获胜的概率为 ，B、C、D之间获胜的概率均为 ，要使D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：
①若A与D在决赛中相遇，分为A：1胜，3胜，D：1负4胜5胜，或A：1负4胜5胜，D：1胜，3胜，
概率为 ；
②若B与D决赛相遇，D：1胜，3胜，B：2胜3负5胜，或D：1胜，3负，5胜，B：2胜3胜，
概率为 ，
③若C与D决赛相遇，同B与D在决赛中相遇，
概率为 ；
所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率 .
19．(1)6；(2)证明见解析；(3)7，理由见解析.
【分析】（1）由性质 定义列不等式组求参数范围，结合 即可得最小值；
（2）根据定义 ，进而有 ，应用累加法即可证结论；
（3）首先应用放缩有 求得 ，同理可得 恒成立，假设 得出矛盾，再讨论
并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值.
【详解】（1）由性质 定义知： ，且 ，
所以 的最小值为6.
（2）由题设 ，且 ，
所以 ，
所以 ，得证.（3）由（2）知： ，
同（2）证明得 且 ，故 ，又 ，
所以 在 上恒成立，
当 ，取 ，则 ，故 ，
当 ，则 ，即 .
综上，集合 中元素个数的最大值为7.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据定义得 为关键；第三问，应用放缩法确定 ，同理得
到 恒成立为关键.
20．(1) ；(2)2
【分析】（1）根据短轴长求出 ，再由离心率 ，及 求出 ， ，即可求出椭圆方程；
（2）设 ， ，联立直线和椭圆方程，得出 ， ，根据题意表示出
点 坐标，再由斜率公式求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的短轴长为4，所以 ， ，因为离心率为 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，所以椭圆 的方程 .
（2）设 ， ，联立 ，化简可得 ，令 ，即 ，
， ，
因为 不在直线l上，所以 ，即 ，
则直线 方程为： ，令 ，则 ，
因为直线 与 交于点 ，所以 ，
所以 ，
将 ， 代入，可得 ，
所以直线 的斜率为2.
