文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、 单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，向量 的夹角为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
4．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
5． 的展开式中的常数项为（ ）A．80 B．160 C．240 D．320
6．已知双曲线的下、上焦点分别为 ， ， 是双曲线上一点且 ，则双曲线的
标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a，b，c分别是 的内角A，B，C的对边，若 的周长为 ，且
，则 （ ）
A． B．2
C．4 D．
8．已知直线 和圆 ，则“ ”是“直线 与圆 相切”
的（ ）
A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．如图，在正方体ABEFDCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余
弦值为（ ）
A．－ B．
C．－ D．10．数列 ， 用图象表示如图所示，记数列 的前n项和为 ，则（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
第 II 卷（非选择题）
二、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 （ ，且 ）的图象过定点P，则P点的坐标为 .
12．已知抛物线 上三点 ，若直线AB，AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为
13．在 中， ， ，D为BC上一点，AD为 的平分线，则
.
14．我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距
离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点 ， 为坐标原点，余弦相似度为向
量 夹角的余弦值，记作 ，余弦距离为 .已知
，若 的余弦距离为 ，则 的余弦距离
为 .
15．已知函数 ，下列命题中：
① 都不是R上的单调函数；
② ，使得 是R上偶函数；③若 的最小值是 ，则 ；
④ ，使得 有三个零点．
则所有正确的命题的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）如图，在四棱台 中，底面 是正方形， ， ，
， ．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
17．（13分）在 中， .
(1)求 ；
(2)再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，若
D是 边上的中点，求 的面积.
条件①： ， ；
条件②： ， ；
条件③： ， ；
条件④： ， .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.18．（14分）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，
获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组
的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个
比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.
(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①A获得季军的概率；
②D成为亚军的概率；
(2)若A的实力出类拔萃，有4人参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先
前与对手已有过招的概率.
19．（15分）已知集合 ，其中 且 ，若对任意的
，都有 ，则称集合 具有性质 .
(1)集合 具有性质 ，求 的最小值；
(2)已知 具有性质 ，求证： ；
(3)已知 具有性质 ，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由.
20．（15分）已知椭圆 的短轴长为4，离心率为 ．直线 与陏圆交于
两点，点 不在直线l上，直线 与 交于点 ．
(1)求椭圆 的方程；(2)求直线 的斜率．
21．（15分）已知 （ 为实常数）
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 对一切 都成立，求 的取值范围；
(3)设各项为正的无穷数列 满足 ，证明： .（提示：当 时，
）
